Re: lugar geométrico

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Vou resolver usando geometria analítica.
Para isso vou colocar a origem (0, 0) do meu par de eixos ortogonais x, y
sobre o ponto A e vou colocar B no ponto (3, 0), ou seja, o segmento AB está
sobre o eixo x. A partir de agora é bom pegar um papel e lápis para desenhar
o que vou escrever, infelizmente não dá para desenhar neste e-mail.
Seja C (x, y) um ponto que se desloca de tal forma que o ângulo CBA tenha
como medida o dobro da medida do ângulo CAB. Para ficar mais fácil de
enxergar coloque C no primeiro quadrante, logo sobre o segmento AB.
Monte o triângulo ABC e trace também a altura relativa ao vértice C,
cortando AB em D.
Seja  CBA = 2a   e   CAB = a

Assim:
tg a = CD/AD = y/x  e   tg 2a = CD/DB = y/(3 - x)
Como  tg 2a = 2.tg a/(1 - (tg a)^2)   =>   (tg 2a)(1 - (tg a)^2) = 2.tg a
=>
(y/(3 - x))(1 - y^2/x^2) = 2.y/x   =>   y(x^2 - y^2) = 2yx(3 - x)

Se y for diferente de zero:
x^2 - y^2 = 6x - 2x^2   =>   3x^2 - 6x - y^2 = 0   =>   3(x^2 - 2x) - y^2 =
0   =>
3(x - 1)^2 - 3 - y^2 = 0   =>   3(x - 1)^2 - y^2 = 3   =>   (x - 1)^2 -
(y^2)/3 = 1
que é a equação de uma hipérbole de centro em  (1, 0), eixo real igual a 2,
eixo imaginário igual a 2(3)^1/2, distância focal igual a 4 e focos em (- 1,
0) e (3, 0).

Se y for igual a zero temos que C "anda" sobre o eixo x, fazendo com que os
ângulos CBA e CAB sejam iguais a zero. Entretanto não deixa de ser uma
resposta correta.

Até mais,
Marcelo Rufino


----- Original Message -----
From: <Lltmdrtm@aol.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, July 04, 2001 9:55 PM
Subject: lugar geométrico


> O lado AB de um triângulo ABC mede 3 unidades de comprimento. Determine
uma
> equação do lugar geométrico descrito pelo vértice C quando este se desloca
de
> tal forma que o ângulo CBA tenha como medida o dobro da medida do ângulo
CAB.
>