RE: 3 problemas

[Eduardo Grasser <grasser@xxxxxxxxxxxx>]

Solu��o "trivial"?
x=y=z=1991

grasser

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De:	titular[SMTP:titular@nautilus.com.br]
Enviada em:	Segunda-feira, 4 de Junho de 2001 12:11
Para:	obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto:	Re: 3 problemas

Para a primeira quest�o fa�a o seguinte:

1 - Mostre que x ao quadrado - y ao quadrado = a ao cubo , tem solucao
inteira para todo a pertencente a N.
Inicialmente:  x^2 - y^2 = a^3   =>   (x - y)(x + y) = a.a.a
Uma poss�vel solu��o �:
x - y = a   e   x + y = a^2   implicando que  x = a(a + 1)/2   e   y = a(a -
1)/2, que sempre s�o naturais pois a(a + 1) � par e a(a - 1) tamb�m � par.
Assim, a equa��o  x^2 - y^2 = a^3  possui infinitas solu��es para cada a,
pois basta fazer  x = a(a + 1)/2  e  y = a(a - 1)/2

Para o segundo problema:
2) Mostre que x ao cubo + 1990.(y ao cubo) = z a quarta , tem infinitas
solu�oes inteiras com x>0 , y>0 e z>0 .
Inicialmente tente encontrar uma solu��o inteira positiva (x, y, z) para a
equa��o  x^3 + 1990.y^3 = z^4
Depois de encontrar esta solu��o basta multiplicar a equa��o inicial por
n^12:
n^12.x^3 + 1990.n^12.y^3 = n^12.z^4   =>
(x.n^4)^3 + 1990.(y.n^4)^3 = (z.n^3)^4
Assim, para cada inteiro positivo n, atrav�s de uma solu��o (x, y, z) para a
equa��o x^3 + 1990.y^3 = z^4,  temos uma nova solu��o, que �  (x.n^4, y.n^4,
z.n^3). Por este m�todo � poss�vel encontrar infinitas solu��es para a
equa��o.
Tentei jogar alguns valores num�ricos mas n�o encontrei uma solu��o inicial
para a equa��o  x^3 + 1990.y^3 = z^4. Talvez algu�m da lista encontre... mas
note que s� falta isso para fechar a solu��o.

Falou,
Marcelo Rufino




----- Original Message -----
From: <Euraul@aol.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, June 04, 2001 1:10 AM
Subject: 3 problemas


>    Ola,
>    Tenho gostado muito dos mais diversos problemas apresentados nesta
lista ( com solu�oes muito bonitas )e queria ver solu�oes dos integrantes da
lista para esses 3 problemas:
> 1 - Mostre que x ao quadrado - y ao quadrado = a ao cubo , tem solucao
inteira para todo a pertencente a N.
> 2 - Mostre que x ao cubo + 1990.(y ao cubo) = z a quarta , tem infinitas
solu�oes inteiras com x>0 , y>0 e z>0 .
> 3 - Neste exercicio representarei 10 ao quadrado com 10v2 assim como 10 ao
cubo como 10v3, pois este teclado nao possui o acento circunflexo.
>    Mostre que se n=a.b, sendo a>1 e b>1, entao:
> 10v(n-1)+10v(n-2)+ ... +
10v2+10+1=(10v(a-1)+10v(a-2)+...+1).(10v((b-1)a)+10v((b-2)a)+...+1)
>    Agrade�o antecipadamente a todos os que pensarem em solu�oes. Ate mais.
>        Raul

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