Re: En: 3-4-5 triangles e recorrência

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes (e ao Marcio em particular),

Suas mensagens foram interessantes. Podemos entretanto colocar
a resposta numa forma mais simpática, como a dada no livro e que o
Wagner reproduziu. E daí obter a recorrência satisfeita por estes números.

Se a_i é o i-ésimo número triangular E quadrado, então

a_i = [ (17 + 12\sqrt2)^i + (17 - 12\sqrt2)^i - 2] / 32 ,

onde \sqrt2 = 2^{1/2}.

Assim, obtemos:

....; a_{-1} = 1;  a_0 = 0;  a_1 = 1;   a_2 = 36;   a_3 = 1225;

a_4 = 41616 = 204^2 = 288*289 / 2 ; ....

E vemos que a_i deve satisfazer a recorrência

a_{i+2} + k_1 a_{i+1} + k_2 a_i = k_3

Com os valores de a_{-1}, a_0, a_1, a_2 e a_3 obtemos
os valores das três constantes. Assim,

a_{i+2} = 34a_{i+1} - a_i + 2.

Só não sei o que Euler descobriu primeiro: a fórmula ou a
recorrência.

E como uma coisa puxa a outra.... Podemos pensar nos
seguintes problemas: achar os números ...

1) triangulares, quadrados e pentagonais;

2) triangulares e pentagonais (por exemplo);

3) outras combinações em tipo e quantidade.

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: M. A. A. Cohen <mcohen@iis.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quarta-feira, 16 de Maio de 2001 18:14
Assunto: RES: En: 3-4-5 triangles


Consertando,
X1=3 ; 2n+1=3 => n=1 eh quadrado e triangular;
X2=17 ; 2n+1=17 => n=8 eh tq n(n+1)/2 = 36 eh quadrado e triangular.
X3=99 ; 2n+1=99 => n=49 => n(n+1)/2 = 49*25 eh quadrado e triangular.
E em geral, os numeros quadrados e triangulares sao exatamente dados por
n(n+1)/2 onde:
2n+1=Xn => n=(Xn-1)/2
(onde Xn=0.5[(3+sqrt(8))^n + (3-sqrt(8))^n])
Essa expressao pode ser ainda bastante simplificada..
por exemplo, veja que n(n+1)/2 = [(Xn)^2 -1]/8
Por outro lado, para n grande (nem precisa ser tao grande.. 2 pra cima ja
basta) o termo
(3-sqrt(8))^n eh muito proximo de zero, e como a expressao dentro do
parentesis de Xn eh inteira, temos Xn = 0,5*[teto ( (3+sqrt(8) )^n) ], onde
teto(x) eh o menor inteiro maior que x.

Logo, o m-esimo numero com a propriedade de ser triangular e quadrado eh:
********************************************
Tm = {0,25*[teto (3+sqrt(8))^m ]^2  - 1} / 8
********************************************
A expressao eh realmente interessante.. minha solucao pode ter ficado um
pouco confusa pq eu usei o indice n para dois fins diferentes..

abracos,
Marcio


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de M. A. A. Cohen
Enviada em: terça-feira, 15 de maio de 2001 21:34
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RES: En: 3-4-5 triangles


...
'...
Dai, Xn = 0.5[(3+sqrt(8))^n + (3-sqrt(8))^n]
ou seja, Xn eh solucao da recorrencia
Xn+2 = 6Xn+1 - Xn => Xn+2 = Xn mod2
Como X1 = 3 eh impar, e X2=17 tmb, segue que Xn eh sempre impar, e por tanto
os numeros que voce fala sao dados por Xn(Xn+1)/2, onde Xn eh dado pela
formula acima..




-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Luis Lopes
Enviada em: terça-feira, 15 de maio de 2001 20:20
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles


Sauda,c~oes,

Nunca ouvira falar no prof. John Conway e entrei na lista
geometry-college para ver o que se discutia lá após ler
um artigo no periódico AMM. E ele volta e meia escreve
na lista.

No site http://mathforum.com  há muitas outras listas.

Este assunto de números figurados que o Paulo aborda é
tratado também - se não estou enganado - no livro de Progressões
do Morgado, Wagner e Zani.

No livro (não tenho ele) Groza, V.S., "A Survey of Mathematics
Elementary Concepts and their Historical Development",
Holt, Rinehart and Winston, 1968
vi pela primeira vez este assunto. E lá havia a resposta para o
seguinte problema:

Quais são os números que são triangulares E quadrados?  A solução
fora dada por Euler (sempre ele) e sua expressão é bastante
impressionante.

O Wagner falou há pouco que nos correspondíamos, ainda pelo velho
e bom correio. Na verdade era eu colocando pra ele diversos problemas,
tal como fazemos aqui na lista. E ele me mandou a solução.

Se achar na minha papelada, amanhã coloco a resposta pois
a solução é muito comprida.

E não sei se o livro do Conway fala desse problema. E não tenho a
mínima idéia do que seja a fórmula de Falhauber.

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Terça-feira, 15 de Maio de 2001 19:02
Assunto: Re: En: 3-4-5 triangles


Ola Luis Lopes e
Colegas da Lista,

Nos, alunos-membros desta "Lista de discussao de Problemas de Matematica",
podemos nos inscrever nesta lista da auql John Conway é um dos membros ? Ou
e uma lista só pra Professores ou Pos-Graduados ?

Jonh Conway parece ser um cara legal ...

Ele divulgou o jogo "Vida" - já discutido nesta nossa lista - e publicou um
livro, "O Livro dos Numeros", que trata de muitos temas que rotineiramente
discutimos aqui.

Em particular, neste livro, ele aborda a formula de Falhauber e os "numeros
figurados".

Para quem nao sabe e a titulo de exemplificacao, os numeros da forma 1, 1+2,
1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... sao chamados numeros triangulares; os da forma
1, 4, 9, 16, ... numeros quadrados, etc. Essas designacoes derivam do fato
de voce poder representar estes numeros atraves destas figuras, usando
conjuntos de pontos geometricos.

Fermat mostrou, entre outras coisas :

1) Um numero e triangular ou e a soma de, no maximo, tres numeros
triangulares.

Eles mostrou tambem teoremas relativos aos demais numeros figurados. No
Livro do Conway e no do Huntley tais temas são abordados.

Aqui na nossa lista ja foram publicadas mensagens (Luis Lopes publicou
algumas, eu publiquei outras ) que poderiam servir para aperfeicoar o "Livro
dos Numeros" do Conway.

Um abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1600,15052001