Re: Complexos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 10 May 2001, Tatiana Peclat wrote:

> Olá pessoal
> 
> Estou no 3o ano do ensino médio e quando estava estudando para uma prova de
> complexos, bateu uma curiosidade: o que deve ser menor, -1 ou i? Sendo i =
> raiz quadrada de -1 (UNIDADE IMAGINÁRIA!!!!) Há como haver essa comparação?
> 
> O fato é que essa dúvida me persegue! O que vocês sugerem, qual é menor?
> 
> Pensem nisso!

Não existe nenhuma ordem realmente interessante para os números complexos.
Está claro que podemos definir várias ordens; podemos por exemplo definir

a + bi < c + di   <=>  (a < c) ou ((a = c)  e  (b < d))

mas tais ordens não têm propriedades algébricas especialmente
interessantes ou importantes. Esta que eu defini, por exemplo,
não satisfaz

x > 0  =>  x^2 > 0

Aliás esta é uma propriedade impossível de conciliar com

x < y   =>   x+z < y+z.

De fato, se 1 < 0 temos 1 + (-1) < 0 + (-1) e -1 > 0 donde (-1)^2 = 1 > 0.
Assim sabemos que devemos ter 1 > 0 e portanto 1 + (-1) > 0 + (-1) e
-1 < 0. Agora se i > 0 temos i^2 = -1 > 0, contradição. Se i < 0 temos
i + (-i) < 0 + (-i) e -i > 0 donde (-i)^2 = -1 > 0, nova contradição.

[]s, N.