Desigualdade Wagner

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

E verdade que :

EM QUALQUER TRIANGULO, O SEMI-PERIMETRO NUNCA E MENOR QUE A SOMA DOS 
PRODUTOS DE CADA LADO PELO COSSENO DO ANGULO OPOSTO.

Para ver isso, seja ABC um triangulo qualquer, imaginado como se BC fosse a 
base ( B a esquerda, C a direita ) e A o vertice.

1) Prolongando CA a partir de A, no sentido de C para A, de um segmento AD 
igual AB.
2) Prolongando BA a partir de A, no sentido de B para A, de um segmento AE 
igual a AC
3) Ligando D com E

Os triangulo ABC e ADE sao iguais (caso LAL), pois :

1) AD = AB (por construcao)
2) AE = AC (por construcao)
3) Angulo BAC = Angulo DAE (opostos pelo vertice)

Segue que DE=BC.

Trancando por A uma paralela a BC. Seja "r" esta paralela. Agora, seja F o 
pe da perpendicular a "r" tracado por D. Seja G o pe da perpendicular a "r" 
tracada por E.

Entao, claramente :

DE >= AD*cos(DAF) + AE*cos(EAG)

Mas :

1)DE = BC = a
2)AD = AB = c
3)AE = AC = b
4)Angulo DAF = Angulo ACB ( Angulos Correspondentes ) = Ang C
5)Angulo EAG = Angulo ABC ( Angulos Correspondentes ) = Ang B

Portando :

a >= c*cos(C) + b*cos(B)

Repetindo construcoes e raciocinios semelhantes para os demais vertices, 
chegaremos a :

b >= a*cos(A) + c*cos(C)
c >= b*cos(B) + a*cos(A)

Somando estas tres desigualdades :

a + b + c >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C)
2p >= 2*a*cos(A) + 2*b*cos(B) + 2*c*cos(C)

Portanto :


DESIGUALDADE WAGNER :
p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)


Eu acho que a melhor maneira de homenagear e demonstrar gratidao para um 
Grande Mestre e mostrando que, com ele, aprendemos alguma coisa ... A 
desigualdade acima e simples, bem como a sua demonstracao, mas e uma sincera 
homenagem aquele que muito me (nos) ensinou :

Prof EDUARDO WAGNER.

( Wagner - me permita chama-lo assim agora, Prof - voce provou que NEM TODAS 
AS ESTRELAS ESTAO MAPEADAS ... )

Um abraco a Todos,
Um abraco especial ao Prof Eduardo Wagner

Paulo Santa Rita
5,1141,10052001



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