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Re: Ajuda!!!Algebra - Complemento
Olá,
Como vocês viram dá trabalho fazer no braço (fica sujeito a erros).
Newton já nos poupou trabalho quando estabeleceu as fórmulas de recorrência.
Sejam o polinômio a0*x^m+a1*x^(m-1)+....+a(m-1)*x + am e
S1=soma da raízes
S2=soma dos quadrados das raízes
...
Sn=soma das potências n-ésimas
a0*S1+a1=0
a0*S2+a1*S1+2*a2=0
a0*S3+a1*S2+a2*S1+3*a3=0
...
a0*Sm + a1*S(m-1)+....+a(m-1)*S1+m*am=0
a0*S(m+1) + a1*Sm + ...+ am*S1=0
Assim, no caso em tela não precisa entrar no "VALE TUDO" com as equações,
basta:
a0=1 (chute de praxe)
a1= -S1*a0 => a1=-3
-2*a2= 13+(-3)*(3) => a2=-2
-3*a3= -18 => a3=6
Desse modo a equação é na verdade: x^3-3*x^2-2*x+6=0, ou seja, o produto
abc=-2 do Rodrigo está com um pequeno equívoco. No momento de elevar ao cubo
a soma a+b+c e desmembrá-la, ele cometeu um erro.
Agora, usando as regras de Girard (P'(x)/P(x)) obtemos S4=89, como foi
encontrado pelo Marcelo.
Um abraço galera.
Fábio
----- Original Message -----
From: <bmat@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, April 15, 2001 1:09 PM
Subject: Re: Ajuda!!!Algebra
> Achei outra solução, que não bate com nenhuma das anteriores e vai pelo
> método da primeira, pois errei a expansão de (a+b+c)^4 na mensagem
anterior:
> faltava o 12abc(a+b+c)
>
>
> 1) Faça a^4 + b^4 + c^4 = X
>
> 2) Pelas equações do problema temos:
>
> a^4 {ac^3 + ab^3} {(ab)^2}
> 2.1)81 = (a+b+c)^4 = b^4 + 4 {ba^3 + ca^3} + 6{(ac)^2} + 12abc(a+b+c)
> c^4 {ab^3 + cb^3} {(bc)^2}
> OBS: 12(a+b+c)abc = 36abc
>
> 2.2)169 = (a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2((ab)^2+ (ac)^2 + (bc)^2)
>
> {a^4} {ac^3 + ab^3}
> 2.3)81 = (a+b+c)(a^3+b^3+c^3) = {b^4} + {ba^3 + ca^3}
> {c^4} {ab^3 + cb^3}
>
> a^3 {ba^2+ca^2}
> 2.4)27 = (a+b+c)^3 = b^3 + 3 {ab^2+cb^2} + 6abc
> c^3 {ac^2+bc^2}
>
> a^3 {ba^2+ca^2}
> 2.5)39 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) = b^3 + {ab^2+cb^2}
> c^3 {ac^2+bc^2}
> {ac^3 + ab^3}
> 3) Faça: {ba^3 + ca^3} = Y
> {ab^3 + cb^3}
>
> ( (ab)^2+(ac)^2+(bc)^2 ) = Z
>
> {ba^2+ca^2}
> {ab^2+cb^2} = W
> {ac^2+bc^2}
>
> 4) As equacões ficam:
> 4.1)81 = X + 4Y + 6Z + 36abc
> 4.2)169 = X + 2Z
> 4.3)81 = X + Y
> 4.4)27 = 27 + 3W + 6abc
> 4.5)39 = 27 + W
>
> 5) 2abc = - W (por 4.4)
> W = 39 - 27 = 12 (por 4.5)
>
> Logo, abc = -12/2 = -6
>
> 2Z = 169 - X (por 4.2)
> Y = 81 - X (por 4.3)
>
> Substituindo em 4.1) vem
> 81 = X + 4(81 - X) + 3(169 - X) + 36(-6)
> 4X + 3X - X = 6X = 4*81 - 81 + 3*169 - 3*72 = 3*(81 + 169 - 72)
> 3*2X = 3*(81 + 169 - 72)
> X = (81 + 169 - 72)/2 = 178/2 = 89
>
> Confiram as contas, esses problemas quando resolvidos "no braço" ficam
altamente
> sujeitos a erros.
>
> Até mais
>
>
>
> -- Mensagem original --
>
> >Errei algumas contas ! abaixo vai o corrreto ! Mas mesmo assim deu
diferente
> >dos 125 do marcelo brazão....
> >-----Mensagem original-----
> >De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
> >Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Data: Sábado, 14 de Abril de 2001 22:35
> >Assunto: Re: Ajuda!!!Algebra
> >
> >
> >>Primeiramente você constrói uma equação do terceiro grau cujas raízes
> são
> >>a,b e c : (x-a)*(x-b)*(x-c) = 0 ....
> >>ou seja x^3 - (a+b+c)*x^2 + (ab+ac+bc)*x - abc = 0
> >>-Eleve a+b+c = 3 ao quadrado : a^2+b^2+c^2 +2*(ab+ac+bc) = 9 implica
> >>(ab+ac+bc) = -2;
> >>-Eleve a+b+c=3 ao cubo :
> >>a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c) + 6abc = 27 ....
> >>... ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) +6abc = 0 ...
ab(3-c)+ac(3-b)+bc(3-a)+6abc=
> >0 ...
> >>...3(ab+ac+bc) = -3 abc ... abc = 2
> >>Daí, nossa equação do terceiro grau toma a seguinte forma :
> >>x^3 - 3x^2 -2x - 2 = 0
> >> Seja S(n) = a^n + b^n + c^n
> >>Pela Fómula de Newton ***, temos :
> >>S(n+3) - 3*S(n+2) - 2*S(n+1) - 2*S(n) = 0
> >>Faça n = 1. Daí, S(4) = 3*S(3) + 2*S(2) + 2*S(1) .... S(4)
> >=3*27+2*13+2*3...
> >>... S(4) = 113 !!!!!!!!!!!
> >>
> >>
> >>*** Fórmula de Newton :
> >>Seja a raiz da equação lá de cima ( do terceiro grau ).
> >>Logo, a^3 - 3*a^2 - 2*a + 2 = 0. Multiplique tudo por a^n :
> >> a^(n+3) - 3*a^(n+2) -2*a^(n+1) + 2*a^n = 0 (1)
> >>Analogamente, como b e c são raízes :
> >> b^(n+3) - 3*b^(n+2) -2*b^(n+1) + 2*b^n = 0 (2)
> >> c^(n+3) - 3*c^(n+2) -2*c^(n+1) + 2*c^n = 0 (3)
> >>Somando (1),(2) e (3), temos justamente a fórmula de Newton.
> >>
> >>¡ Villard !
> >>
> >>
> >>-----Mensagem original-----
> >>De: yuri.c.martins@zipmail.com.br <yuri.c.martins@zipmail.com.br>
> >>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Data: Sábado, 14 de Abril de 2001 21:34
> >>Assunto: Ajuda!!!Algebra
> >>
> >>
> >>>Pessoal
> >>>Sendo a+b+c=3 , a²+b²+c²=13 e a³+b³+c³=27 Como determino a elevado a
> >quarta
> >>>potência + b elevado a quarta potência + c elevado a quarta potência?
> >>>
> >>>Obrigado desde já
> >>>
> >>>
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> >>>___________________________________________________________
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> >>>http://www.zipmail.com.br O e-mail que vai aonde você está.
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