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Dizemos que h : N --> N � estritamente multiplicativa se
h(xy) = h(x) *h(y),
para quaisquer x, y E N, e dizemos que h � uma involu��o se h(h(x)) =x para todo x E N. � facil ver que se f satisfaz a involu��o estritamente multiplicativa ent�o f satisfaz a condi��o do enunciado: f (t^2 f (s)) = (f(t)^2 *f (f (s)) = s (f (t))^2. Podemos definir f : N --> N estritamente multiplicativa por ( pi primos distintos), onde f (2) = 3, f (3) = 2, f(37) = 5, f (5) = 37 e f (p) = p, para todo p primo n�o pertencente a {2, 3,5, 37}, e teremos f (1998) = f ( 2 � 33 � 37 ) = f (2) f (3)3 f (37) = 3 �23 � 5 = 120. Vamos provar que 120 � menor valor poss�vel para f (1998). O problema n�o foi entender as fun��es multiplicativas ou de involu��o, j� que suas defini��es j� est�o bastante expl�citas, mas sim, o por que de f(2) = 3, f(3) = 2,... etc, j� que a fun��o � de involu��o e multiplicativa, eu n�o poderia ter f(f(2)) = 2 ou seja, f(2) = a e f(a)=2 logo f(2)*f(a) = 2a => f(2a) = 2a ? Ats, Marcos Eike |