Comprimento da Espiral Equiangular

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

Bueñas!

    Resolvi parametrizar a espiral equiangular sozinho, no braço. Achei
que suas equações seriam

x = Rcos^n(t)cos(nt)
y = Rcos^n(t)sen(nt)

    onde R é o raio da circunferência original, t é o ângulo formado
entre OP[n] e OP[n+1].

    Todavia, quando fui calcular o comprimento com N de zero a infinito,
cheguei na série
somatório(cos^n(t)/n), n= 1, 2.. infinito.
    pretendia achar algo em função de t e depois fazer o limite quando t
->zero, só que ainda não consegui calcular o valor da série. Vale
lembrar que 0<t<pi/2.

    Para quem não sabe o que é a espiral equiangular e/ou não entendeu
minhas convenções, fiz a construção assim:

Seja C um círculo de centro O e raio R;
Construa um ângulo inscrito QOP[0] = t;
Construa vários angulos seguidos, no sentido trigonométrico, todos
iguais a t;
Marque P[1] como o pé da perpendicular baixada de P[0] em relação a OQ;
Repita o processo sendo P[n+1] o pé da perpendicular baixada de P[n] em
relação a OP[n+1].

Para facilitar a visualização, anexo uma figura em formato wmf, como fig
de texto do word num arquivo rtf e, para quem tem no formato do Cabri e
no do SketchPad. Ainda para esses, vale a pena pedir o Locus de cada
P[n] quando P[0] ou Q se movem. Note que cada programa faz uma figura
diferente %=O

[]'s

Alexandre Tessarollo

OBS:
P[n] leia-se "P índice n";
cos^n(t) leia-se "n-ésima potência de cosseno de t"
sen(nt) leia-se "seno do produto n vezes t"

EspEquiang.zip