Prove que os 3 pares de tangentes externas comuns a 3 círculos, tomadas 2 a 2, cortam-se em 3 pontos colineares.
Qualquer ajuda será bem vinda.
Obrigado.
Vamos ver um resumo da coisa.
Uma homotetia de centro O e razao k (suponha k>0) eh uma
transformacao que a cada ponto A associa o ponto A' na
semi-reta OA tal que OA' = k.OA.
Uma homotetia transforma uma figura F em uma figura F'
semelhante a F. Em particular, uma homotetia transforma
uma circunferencia em outra circunferencia .
Dadas duas circunferencias, o ponto de intersecao das
tangentes comuns externas eh o centro de homotetia
(de razao positiva) que transforma uma na outra.
Observe tambem que uma homotetia transforma uma reta
em outra reta paralela ou coincidente.
Imaginemos agora duas homotetias: a primeira de centro O1
e razao k1 e a segunda de centro O2 e razao k2.
A composta dessas duas transformacoes eh uma homotetia
de razao k1.k2 com centro O.
Ocorre que os pontos O1, O2 e O sao colineares pelo seguinte.
Seja r a reta que contem O1 e O2. A primeira homotetia
naturalmente transforma r em r, e a segunda igualmente
transforma r em r. Logo, se a composta transforma r em r
devemos ter O pertencente a r.
Como disse, isto eh apenas um resumo. Tudo deve ser
demonstrado, e com bastante cuidado.
Considere agora tres circunferencias A, B e C com raios
diferentes. As tangentes comuns externas de A e B determinam
o ponto O1, centro de homotetia que transforma A em B.
As tangentes comuns externas de B e C determinam o ponto O2,
centro de homotetia que transforma B em C. As tangentes
comuns externas de A e C determinam o ponto O, centro de
homotetia que transforma A em C, e que eh a composta das duas
primeiras. Portanto, esses tres pontos sao colineares.
Abraco,
Wagner.
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