Re: 3^2+4^3+...+2001^2000

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

1) Chamemos a[k] = k^(k - 1). Vou provar que (a[0],a[1],...), tem um período
modulo 24, ou seja, existe um P tal que a[k - P]=a[k] (mod 24), para
qualquer k. Para isso:

* Primeiro vemos que a[2k-1]=1(mod 8), e a[2k]=0(mod 8), se k e' inteiro
maior que 1.
Demonstraccao. A segunda afirmaccao é verdadeira, pois (2k)^(2k - 1) tem no
minimo 2^(2k - 1), como divisor, ja que 2k-1 e' no minimo 4. Para a segunda
afirmaccao dividamos os impares em 4q+1, e 4q+3, temos (4q+1)^(4q)=1(mod 8),
pois para N impar N^4=1(mod 8) (teorema de Euler), no segundo caso
(4q+3)^(4q+2)=(4q+3)^2(mod 8), mas 1^2=3^2=5^2=7^2(mod 8), de modo que sai
(4q+3)^2=1(mod 8).

* Depois vemos que a[6k+3]=a[6k]=0 (mod 3), a[6k+1],a[6k+2],a[6k+4]=1(mod
3), e a[6k+5]=2(mod 3).
Demonstraccao. Se N e' multiplo de 3, N e suas potencias tambem sao. Se N
nao e' multiplo de 3, N^2=1(mod 3), de modo que a[6k+2]=a[6k+4]=1(mod 3),
pois sao pares 6k+2, e 6k+4. Finalmente (6k+1)^(6k+1)=(6k+1)=1(mod 3), e
(6k-1)^(6k-1)=(-1)^1=2(mod 3).

Pelo teorema chines dos restos (x , x)|->x, de Z/(m) x Z/(n) |-> Z(mn) e'
uma bijeccao de modo que como a sequencia (a[3],a[4],...) tem periodo P=2 no
modulo 8, e P=6 no modulo 3 (como demonstramos acima), a sequencia tem
periodo P=6 no modulo 24, de modo que a[k-6]=a[k] (mod 24) para qualquer k.

Calculo a[3], a[4], a[5], a[6], a[7], a[8] modulo 24, e tenho
respectivamente 9,16,1,0,1,8. Logo a soma pedida a[3]+a[4]+...+a[2001] =
(9+16+1+0+1+8)*333 + a[2001] (mod 24) = 15 + 9 = 24 = 0(mod 24), e esta
demonstrado o item 1.

Tá muito confuso! Tem jeito mais fácil?

-----Mensagem Original-----
De: lcamargo@nutecnet.com.br
Para: Lista OBM
Enviada em: Terça-feira, 20 de Março de 2001 02:41
Assunto: 3^2+4^3+...+2001^2000


Trouxe esta questão de outro fórum:


Seja N = 3^2+4^3+...+2001^2000
       = Sum(k^(k-1), k, 3, 2001)

Quatro questões em ordem crescente de dificultade:

a) Demonstrar que N é múltiplo de 24.
b) Encontrar a máxima potência de 2 que divide N.
c) Encontrar a máxima potência de 3 que divide N.
d) Encontrar algum outro fator de N.

Luiz