Re: ime 2001

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Alem dessas (otimas) soluçoes, para mostrar a divisibilidade por 5
poder-se-ia usar (eis o canhao matando uma mosca) o Pequeno Teorema de
Fermat. 

Paulo Santa Rita wrote:
> 
> Ola Falows e Amigos da Lista,
> 
> Se o algarismo das unidades de "K^5" e de "K" sao
> iguais, entao a diferenca "K^5 - K" termina em
> zero, vale dizer : ela e multiplo de dez.
> 
> Claramente que "K^5 - K" e multiplo de dois,
> qualquer que seja o natural "K". Para ver isso,
> note que se supormos que "K" e par, entao "K^5"
> sera necessariamente par e, portanto, a diferenca
> "K^5 - K" sera do tipo "par - par" que e par; por
> outro lado, supondo "K" impar, "K^5" sera impar e
> ,neste caso, diferenca "K^5 - K" sera do tipo
> "impar - impar" que e par.
> 
> Resta provarmos que "K^5 - K" e tambem multiplo
> de cinco. Existe uma grande quantidade de formas
> de se fazer isso ...
> 
> 1 FORMA ( Estilo "Aluno de 8 serie ) :
> Se "K" for multiplo de cinco, entao
> o fato de "K^5 - K" poder ser colocado na forma
> K(K^4 - 1) mostra que esta diferenca tambem e
> multiplo de cinco. Se "K" nao for multiplo de
> cinco, entao, pelo algoritmo da divisao, ele
> podera ser colocado na forma 5*q + r, com 0 < r < 5.
> 
> Como :
> 
> K^5 - K = K(K^4 - 1) = K(K^2 - 1)(K^2 + 1)
> K^5 - K = K(K - 1)(K + 1)(K^2 + 1)
> 
> Se r=1, "K^5 - K" se transformara em
> (5p+1)*5p*(5p+2)[(5p+1)^2 + 1] ...
> Multiplo de 5 !
> 
> Se r=4, "K^5 - K" se transformara em
> (5p+4)*(5p+3)*(5p+5)*[(5p+4)^2 + 1]
> 5*(5p+4)*(5p+3)*(p+1)*[(5p+4)^2 + 1] ...
> Multiplo de 5 !
> 
> Se r=2 ou r=3 o fator "K^2 + 1" ira se
> transformar, respectivamente, em
> (25p^2 + 20p + 5) =5*(5p^2 + 4p +1) e
> (25p^2 + 30p + 10)=5*(5p^2 + 6p + 2),
> ambos multiplos de 5 !
> 
> Esgotadas as hipoteses possiveis sobre r,
> so nos resta admitir que "K^5 - K" e sempre
> multiplo de 5.
> 
> 2 FORMA ( Estilo "Sintetico - Como eu faria" ) :
> 
> Vemos que K^5 - K = K(K^4 - 1). Se K for
> multiplo de 5, claramente que K(K^4 - 1)
> tambem sera. Se nao for, entao, pelo teorema
> de Fermat, K^4 e congruo a 1 modulo 5 e,
> portanto, K^4 e 1 deixam o mesmo resto quando
> dividos por 5 e, assim, k^4 - 1 e multiplo de 5.
> 
> 3 FORMA ( Estilo "Rolo compressor" )
> 
> E como voce fez, listando, pelo que entendi,
> todas as possibilidades de combinacoes. E valido.
> 
> Nota : Existe um teorema ( das quatro cores )
> cuja primeira prova consistiu em exibir todas
> as combinacoes possiveis ... Muitas pessoas nao
> aceitam tal prova, outras aceitam ... Em minha
> opiniao ( fraca, em face do que podem dizer os
> Grandes Professores que orientam Nossa Lista ),
> uma "Prova por Enumeracao" e um indicativo da
> falta de algum(ns) conceito(s) do(s) qual(is)
> o fato provado por enumeracao possa ser derivado
> como consequencia logica !
> 
> 4 FORMA ( Estilo "indutor" )
> 
> A praxis seria supor que "P^5 - P" (K=P) e
> divisivel por 5 e mostrar que para (K=P+1)
> obrigatoriamente tambem seria. Nao vou fazer,
> mas tenho certeza que e tao simples como todos
> os outros casos ...
> 
> Eu acho que esta bom, mas neste momento estou
> vendo duas outras formas diferentes de chegar
> a este resultado ... Isto mostra a simplicidade
> da questao e a riqueza das tecnicas matematicas.
> 
> Um Grande Abraco pra voce
> Um Grande abraco pra todos os colegas da lista
> 
> Paulo Santa Rita
> 6,1158,02032001
> 
> Nota : Existe um Teorema ( das quatro cores ) em que a prova
> 
>  
> 
>  
> 
> >From: "Exercicio~®"
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: ime 2001
> >Date: Fri, 02 Mar 2001 00:27:53 -0300
> >
> >
> >
> > Olá pessoal!
> >
> > Essa questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia
> apresentar
> >uma resolução formal para essa questão?
> >
> >
> > ( IME - 2001 )
> >
> > Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5
> terminam
> >sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades).
> >
> > Eu faria assim:
> >
> >K = R_n onde n varia de 0 a 9 e R é qq número inteiro.
> >
> >K = R_0
> >K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro
> >
> > K = R_1
> > K^5 = R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 = T_1, onde T é qq número inteiro.
> >
> > K = R_2
> > K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 = T_2, onde T é qq número inteiro.
> >.
> >.
> >.
> >.
> >.
> >.
> > K = R_9
> > K^5 = R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro.
> >
> >
> > Agora fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu
> >consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q
> seja
> >viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso
> >necessariamente utilizar variáveis literais?
> >
> > No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0
> até
> >R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu
> coloquei
> >entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo......
> >
> > Obrigado.
> >
> >
> > Falow's
> >
> > Exercicio~®
> >
> > http://members.nbci.com/exercicio
> > ICQ # 102856897
> >
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