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Sauda,c~oes,
Considere o problema: mostre que
sen(alpha/2)sen(beta/2)sen(gamma/2) <= 1/8 com alpha, beta e gamma ^angulos
de um
tri^angulo.
Este problema 'e bem conhecido e pode ser resolvido usando a
f'ormula de Euler para a dist^ancia entre O e I (centros dos c'irculos
circunscrito e inscrito) pois r <= R/2.
Uma outra maneira 'e usar a desigualdade de Jensen (ver uma
Eureka recente) e uma outra maneira, usando a teoria para calcular
o m'aximo de fun,c~oes com mais de uma vari'avel pode ser vista num
livro de Trigonometria que escrevi.
Assim sabemos que a resposta 'e
alpha=beta=gamma=pi/3.
No seu problema, cosA.cosB.cosC =
sen(pi/2-A)sen(pi/2-B)sen(pi/2-C). Fa,ca
pi/2-A=alpha/2, pi/2-B=beta/2 e pi/2-C=gamma/2. Conclua que
A=B=C=pi/2 - pi/6 = pi/3 e cos(pi/3)=1/2.
[ ]'s
Lu'is
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