Re: Re: um pouco de física...

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Interpretando o metodo exposto pelo Nicolau como um expediente heuristico
para conjeturar a solucao, eh possivel, em seguida, mostrar que esta eh a
unica solucao, utilizando so conceitos elementares de Calculo.
Defina uma funcao u(t) por u=(mg/k - v). exp(kt/m), onde v eh uma solucao.
Derivando, constata-se que u(t)=0 para todo t real (fazer as contas!). Logo
existe uma constante A tal que (mg/k - v). exp(kt/m) = A, donde segue que
v=mg/k - A exp(-kt/m).
JP


-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: Lista de Matemática <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 16 de Fevereiro de 2001 15:03
Assunto: Re: Re: um pouco de física...


>
>
>On Thu, 11 Jan 2001, Bruno Mintz wrote:
>
>> Caro Nicolau,
>>
>> no mail anterior estava escrito:
>>
>> "(...) A aceleração é a derivada da velocidade então sua equação pode ser
reescrita como
>>
>>
>> mg - kv = m dv/dt
>> o que, com um tremendo abuso pode ser reescrito como
>> dt = (m dv)/(mg - kv)"
>>
>>
>> Fiquei curioso: por que "um tremendo abuso"? Afinal, a resposta dependeu
disso...
>
>Claro que o resultado dependeu disso, e foi por isso que eu avisei que ia
>usar matemática além de cálculo/física 1. Ou melhor, usaria matemática
>como alguns físicos usam (e são criticados pelos matemáticos por isso).
>
>O que são dv e dt sozinhos? Nada que seja definido em um curso de cálculo
1.
>O que é definido é o falso quociente dv/dt, que é uma derivada.
>Digo falso quociente pois a derivada não é propriamente um quociente,
>é na melhor das hipóteses o *limite* de um quociente.
>É verdade, por exemplo, que dz/dy = dz/dy * dy/dx mas isto
>não é um fato puramente algebrico (produto de frações)
>e sua demonstração rigorosa exige que reconsideremos as definições
>de limite e derivada. A explicação de que é verdade pois cortamos
>um dy com o outro é extremamente grosseira e não é de forma alguma
>uma demonstração, é na melhor das hipóteses uma idéia para guiar a
intuição.
>
>Mas voltando ao seu problema, passamos de
>
>mg - kv = m dv/dt                             (equação a)
>
>para
>
>dt = (m dv)/(mg - kv)                         (equação b)
>
>e depois integramos para obter
>
>\int dt = \int (m dv)/(mg - kv)               (equação c)
>
>onde \int deve ser lido como o sinal de integral:
>
>    /
>   /
>   |
>   |
>   /
>  /
>
>
>As equações (a) e (c) fazem sentido, a equação (b) não faz sentido nenhum
>(pelo menos não com o que se conhece de matemática no curso de cálculo 1).
>Mas queremos deduzir a equação (c) a partir de (a).
>E a minha apresentação a rigor não demonstra nada.
>
>As respostas que eu posso dar neste momento não são muito satisfatórias.
>Você pode pegar a resposta final e substituir na equação inicial
>e verificar que dá certo (mas quem garante que outra função também
>não daria certo?). Ou você pode aceitar este método como uma receita
>que dá certo e você não sabe bem por que.
>
>[]s, N.
>
>