Re: lógica de segunda ordem

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 30 Jan 2001, Rogerio Fajardo wrote:

> Caros colegas da lista
> 
> Já estudei um pouco de lógica de primeira ordem, mas nem sei o que é lógica 
> de segunda ordem, terceira, e assim por diante. Alguém pode me explicar?
> 
> Rogério
> _________________________________________________________________________
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> 

Lógica de primeira ordem fala de objetos. Assim, o axioma da indução
de Peano não é um axioma em lógica de primeira ordem se os objetos
são apenas números. O axioma pode ser pensado como falando de conjuntos

  Para todo X contido em N,
  se ((0 pertence a X) e,
  (para todo natural n, (se n pertence a X então n+1 pertence a X)))
  então X = N.

Aqui há um uso de conjuntos como objetos e até um quantificador
sobre conjuntos (para todo X...). Isto está ok se estivermos
estudando teoria dos conjuntos mas neste caso precisamos de axiomas
para conjuntos. Note que nas apresentações dos axiomas para os números
naturais esta dificuldade grave é raramente enfatizada.

Outro ponto de vista é pensar que temos não um mas infinitos axiomas
da indução, um para cada fórmula. Assim, Se F(x) é uma fórmula com
uma variável livre x então temos o axioma

  Se ((F(0)) e,
  (para todo natural n, (se F(n) então F(n+1))))
  então temos F(n) para todo natural n.

Observe que também não é permitido começar o axioma com um quantificador
da forma "para toda fórmula F"; o conceito de fórmula é lógico,
faz parte da metateoria e não da teoria.
Esta versão dos axiomas permite a construção de modelos não standard
onde existem naturais não standard infinitamente grandes.

Uma terceira solução é fortalecer não a teoria (como na primeira idéia)
e sim a lógica: ou seja, passamos a permitir quantificadores sobre
conjuntos de objetos como parte da linguagem fundamental.
Isto nos dispensa de fazer previamente teoria dos conjuntos
pois conjuntos não são mais um objeto da teoria.
Isto seria passar de lógica de primeira ordem para lógica de segunda ordem.

O grande inconveniente deste ponto de vista é que na lógica de 1a ordem
é fácil dizer quando uma proposição segue de outra; em lógica de 2a ordem
tudo é muito mais complicado.

[]s, N.