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Re: um bom problema
Oi Josimar ,
Fazendo N = nx + my , com mdc(m,n ) dividindo N ,
teremos para solução :
x = tN - mk e y = nk - sN ; onde s
e t são inteiros positivos tais que : nt = ms +
1 . Devemos encontrar
o maior N tal que não seja possível
escrever : sN/n < k < tN/m ou
seja sN/n = a + b e
tN/m = a + c , com a inteiro positivo , 0< b
< 1 , 0< c < 1 e b<c . Observe que 0
< mc < m e
0 < nb < n e a = mcs - nbt ;
tomando nb = 1 e mc = m - 1
encontramos a = sm - s - t e,
consequentemente teremos sN = na + nb = nsm - ns - nt +
1 = nsm - ns - ms ; ou seja
N = nm - n - m = m( n - 1 ) - n , que é o valor
encontrado . Vejamos agora o fato deste N
ser o
máximo : observe que tN = ma + mc
= m [ mc( s +1/m) - nbt ] ou seja tn
será máximo quando
tivermos mc = m - 1 e nb = 1 , já que temos
dentro dos colchetes uma diferença e
os valores de s e
t estão amarrados em nt = ms + 1 .
Está correta esta conclusão ?
Abraços , Carlos Victor
At 18:15 21/1/2001 -0200, josimat wrote:
Mais uma vez, obrigado Carlos
Vitor!
Meu amigo Luís Lopes, também membro desta lista, chegou à seguinte
conjectura:
Z = (n 1) m n, onde "n" e "m" são os
valores monetários das moedas. O que dá Z = 59.
Alguém se emociona com isso o suficiente a ponto de fazer algum
comentário?
[]s Josimar
-----Mensagem
original-----
De: Carlos Victor
<cavictor@uol.com.br>
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
<obm-l@mat.puc-rio.br>;
OBM
<obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 21 de Janeiro de 2001 01:50
Assunto: Re: um bom problema
Oi Josimar ,
Verifique se a idéia abaixo está
correta .
Seja N = 11x + 7y ; como 7 e 11
são primos entre si , encontramos para
solução geral :
x = 2N - 7k e y = 11k - 3N .
Devemos encontrar o maior N tal
que não seja possível escrever
3N/11< k < 2N/7 e , isto ocorrerá quando
tivermos as partes inteiras de 3N/11 e 2N/7
iguais e,
evidentemente não devemos ter 3N/11 e 2N/7
sendo inteiros ; pois teremos x= 0 ou y =0 ; portanto
:
3N/11 = a +b e 2N/7 = a + c , com
a inteiro positivo , 0< b < 1 , 0< c < 1
e b<c . Observe que
3N = 11a + 11b ; 2N = 7a + 7c ; a = 21c - 22b
; 7c = 1,2,3,4,5,ou 6 . Já que a> 0 ,
teremos
22b < 21c ou seja 11b = 1 , 2 , 3 , 4 ,
5 , 6, 7 , 8 ou 9. Podemos verificar também que N <
77 ,
e que a < 16 . Para a
=16 e 11b = 1 encontramos N =
59 , que é o valor máximo para N .
Confere as contas , ok ?
Abraços , Carlos Victor
At 12:10 20/1/2001 -0200, josimat wrote:
Olá amigos da lista, gostaria de
saber se alguém tentou resolver o problema da minha mensagem
"paralelogramo". Gostaria também de ver aqui resoluções
do seguinte problema.
- Um governante louco decide apenas emitir duas moedas de valores
diferentes: uma de 7 unidades monetárias e outra de 11. Assim, somas como
15 unidades não podem ser obtidas de maneira exata. Qual é a maior
quantia que não pode ser paga com qualquer combinação das duas moedas?
[]'s JOSIMAR