Uma equação polinomial de grau n tem n raízes (distintas ou não, reais ou não). Acontece que todas as raízes complexas vêm aos pares, pois se a+bi é uma raiz de uma equação polinomial, seu conjugado a-bi também é uma raiz dessa equação. Logo, uma equação polinomial de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, pois tem número ímpar de raízes.
Se vc pensar em no gráfico da função polinomial, fica imediato que uma função de grau ímpar cruza o eixo x pelo menos uma vez, pois se ela começa crescendo desde o menos infinito, ela terminará crescendo até o mais infinito, e vice-versa, sendo obrigatória a passagem pelo zero.
Rogério