Potências de 2 começando por 1

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi, Igor.

> "Mostre que, pelo menos 30% dos naturais n entre 1 e 1.000.000, o primeiro
> digito de 2^n é 1."

	Em primeiro lugar, pense: quantos dígitos tem 2^(1.000.000) ?

	Resposta: como log(2^1.000.000)=1.000.000 log(2) > 1.000.000 (0.301)
= 301.000, concluímos que 2^1.000.000 tem mais de 301.000 algarismos
(para ser exato, tem 301.030 algarismos, já que log(2)=0.301029995...).

	Por outro lado, qualquer que seja o número de algarismos N que você
escolher entre 2 e 301.000, há uma destas potências de 2 que tem N
algarismos e começa por 1 (pense bem, a primeira potência de 2 com N
algarismos SEMPRE começa por 1... caso contrário, se tal potência
começasse com 2 ou mais, sua metade também teria N algarismos e seria
uma potência de 2 menor, certo?).

	Assim, há pelo menos 300.099 potências de 2 (dentre estas) que começam
com 1, isto é, 30.01% delas começam por 1 (de fato, dentre estas,
exatamente 301.029 potências de 2 começam por 1, isto é, 30.1029%).

	Note que a informação necesária para resolver isso acaba sendo
simplesmente esta: log(2) > 0.300001 (todos os logs aqui na base 10).

	Abraço,
		Ralph