Curvatura, Evoluta e Involuta

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Jorge !

Parece que voce quer saber o que e "Centro de Curvatura"
para entender uma mensagem que enviei anteriormente ... Se e
isso, abaixo segue uma exposicao circunstanciada :

Seja AB e CD dois arcos de mesmo comprimento ( imagine-os
convexos, para facilitar ). Se tracarmos tangentes a curva
por A e por B, essas tangentes se encontrarao em um pondo E.
Definimos :

Curvatura media de AB=(pi - angulo AEB) / comprimento do
arco AB

Quando mais "curvado" for o arco, maior a curvatura.

Se voce fizer o ponto B se aproximar de A e calcular o
limite a que tende a curvatura media, tera a curvatura no
ponto A. Assim, para uma grande classe de curvas, a cada
ponto corresponde uma curvatura.

Por definicao, o "raio de curvatura de um ponto de uma
curva" e o inverso da curvatura. Assim, se C e a curvatura
num ponto. 1/C e o raio de curvatura naquele ponto.

O que é "centro de curvatura" ? Se voce tracar uma normal a
um ponto de uma curva e caminhar ao longo desta normal de um
comprimento igual ao raio de curvatura naquele ponto, vai
parar justamente no ponto que, por definicao, e o centro de
curvatura. Ficou claro agora ?

vemos que a cada ponto de uma curva podemos associar um
centro de curvatura. O LUGAR GEOMETRICO DOS CENTROS DE
CURVATURA DE UMA CURVA E, POR DEFINICAO, A EVOLUTA DA CURVA.

Se uma curva C e a evoluta de uma curva D, a curva D se diz
a involuta da curva C. As evolutas e involutas possuem
diversas propriedades. vou citar duas muito importante para
resolver problemas geometricos dificeis :

1) Se tracarmos uma tangente a uma evoluta ela sera
perpendicular a sua involuta

2) Se a curvatura e de uma curva monotona ( crescente ou
decrescente ) a sua variacao e igual a variacao do arco
cotrrespondente.

O conceito de curvatura e ubiquo em matematica ! So para
voce ter uma ideia, com a propriedade 1) acima e possivel
provar que um pendulo ladeado por dois arcos cicloidais
identicos e efetivamente isocrono, vale dizer, seu periodo
independe realmente da amplitude.

Voce pode tracar uma evoluta ( e involuta ) usando uma
tangente deslizante...

Seja um circulo de raio 1, diametro horizontal AB ( A a
esquerda, B a direita ) e vertical CD ( C abaixo, D acima ).
Imagine uma semi-reta  tangente a este circulo em B. Esta
tangente sera evidentemente vertical e paralela a CD. Agora,
venha caminhando com o ponto B no sentido de D ( sentido
anti-horario ) e acompanhe o movimento de B com a semi-reta
tangente, deforma que ela nao possa deslizar. Neste sentido,
apos percorrermos uma arco de comprimento T o comprimento da
semi-reta a esquerda de B sera tambem T.

A DISTANCIA DO "BICO DA SEMI-RETA" A RETA SUPORTE ab I IGUAL
A AREA DA LUNULA SOBRE B. Quando esta distancia for pi/2 a
lunula intercepta uma area igual a metade do cirdulo ( Que e
a solucao para o problema da metade do pasto )

Nao sei se consegui me fazer entender, mas tentei ... Sem
figura fica dificil. Vou tentar escrever um artigo sobre
isso

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1716,11122000                       
________________________________________________
Don't E-Mail, ZipMail! http://www.zipmail.com/