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Sauda,c~oes,
Vamos chamar a primeira linha de linha 0, a segunda de linha 1
etc. Assim,
temos:
A diagonal 0 tem apenas o 1. Soma = 1=F_1
(definimos F_0=0)
A diagonal 1 tem apenas o 1. Soma = 1=F_2
A diagonal 2 tem dois 1`s. Soma = 2=F_3
A diagonal 3 tem um 2 e um 1. Soma =3=F_4
A diagonal 4 tem dois 1`s e um 3. Soma =
5=F_5
Voc^e ent~ao quer mostrar que a soma S_n de binom(n-i , i) = F_{n+1}
para i = 0,1,...n ,
onde n é a diagonal de n'umero n.
Agora prove por indu,c~ao.
H'a outra maneira de provar isso sem usar indu,c~ao. Chame de S_n(x) a
soma
binom(n-i , i) x^i. A soma em quest~ao 'e obtida fazendo x=1.
Mostre que S_n(x) satisfaz a recorr^encia (vamos escrever S_n(x)=S_n na
recorr^encia)
S_{n+1} - S_n - xS_{n-1} = 0 . Resolva a recorr^encia e conclua
um mont~ao de coisas.
Em particular, coloque x=1 e x= - 1.
[ ]'s
Lu'is
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