Re: Inequality

[Alek <ksander@xxxxxxxxx>]

Questaozinha boa! Gostaria de saber de onde veio.

Quero:
x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x+y+z) >= 2[(xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2]

Solucao:
sejam os vetores:
u = (x^2,y^2,z^2) e v = (x^2,y^2,z^2)

{ u.v=|u|.|v|.cos@ }  =>  { u.v =< |u|.|v| }

logo:
x^4 + y^4 + z^4  >= (xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2

Portanto:
{ x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x+y+z) >= 2(x^4 + y^4 + z^4) } -> 
{ x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x+y+z) >= 2[(xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2] }

x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x+y+z) >= 2(x^4 + y^4 + z^4)
xyz(x+y+z) >= x^4 + y^4 + z^4 

<-- Concorda que

[x+y+z]/3 >= [xyz]^1/3 >= [(x^4 + y^4 + z^4)/3]^1/4

media aritimetica >= media geometrica >= media potencial
-->

1-Portanto: 

{ xyz(x+y+z) >= 3(xyz)^(4/3) } -> {
xyz(x+y+z) >= x^4 + y^4 + z^4 }

xyz(x+y+z) >= 3(xyz)^(4/3)
(x+y+z)/3 >= (xyz)^1/3 {m. arit. >= m. geo}

Pronto!

2- Ou se prefirir
{ xyz.3[(x^4 + y^4 + z^4)/3]^1/4 >= x^4 +
y^4 + z^4 } -> { yz(x+y+z) >= x^4 +
y^4 + z^4 }

xyz.3[(x^4 + y^4 + z^4)/3]^1/4 >= x^4 + y^4 + z^4
(xyz)^1/3 >= (x^4 + y^4 + z^4)/3]^1/4  {m. geo>= m. 
pot.}

Resumindo:
{(x+y+z)/3 >= (xyz)^1/3} ou {(xyz)^1/3 >= (x^4 + y^4 + z^4)/3]^1/4}
->
xyz(x+y+z) >= x^4 + y^4 + z^4 ->
x^4 + y^4 + z^4 + xyz(x+y+z) >= 2[(xy)^2 + (xz)^2 + (yz)^2]

Alek.

Nota: "->" seguinifica uma emplicação


> Alguém poderia, por favor, me dar alguma dica
> pra resolver a inequação abaixo.
> Verifique se a inequação abaixo vale para todo real positivo x, y e
> z.
> x^4 + y^4 + z^4 +xyz(x + y + z) >= 2(x^2y^2 + y^2z^2 +
> z^2x^2).