Re: probabilidade!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 20 Nov 2000, Alexandre F. Terezan wrote:

> Um fazendeiro convida para a sua casa um amigo seu, através de um telefonema.
> As duas únicas informações sobre o caminho são:
> 
> i . Ao longo do percurso, existem 10 "trifurcações" da estrada (3 subdivisões
> a partir de 1 pré-existente), sendo que para chegar-se à casa deve-se
> escolher a subdivisão apropriada a cada trifurcação;
> 
> 
> ii . Em 2 trifurcações deve-se virar à esquerda, em 3 deve-se virar à direita
> e em 5 deve-se seguir em frente (subdivisão central). 
> 
> Obviamente, é pouco provável que o amigo do fazendeiro consiga chegar à casa
> dele com estas informações apenas. Chame a probabilidade de sucesso do amigo
> nestas condições de P. Por outro lado, seria ainda mais difícil se a segunda
> informação (ii) fosse omitida. Chame a probabilidade de sucesso do amigo
> nestas condições de P'. Encontre a razão P/P'.
> 

O enunciado a meu ver pode se prestar a mais de uma interpretação,
vou resolver com uma que me parece natural.

Primeiro calculemos P'. A cada trifurcação o amigo joga um dado;
se cair 1 ou 2 ele vai pela direita, se cair 3 ou 4 ele vai em frente
e se cair 5 ou 6 ele vai pela esquerda. Ele só chega no seu destino
se não errar uma única vez (esta parte não é muito realista: ele não
percebe nunca que errou para poder voltar atrás?). Ou seja, ele só chega
no seu destino se em 10 trifurcações ele sempre tiver sorte, o que tem
probabilidade 1/3^10 = 1/59049.

Agora P. O amigo antes de começar a viagem escolhe uma seqüência de 10
Direita-Esquerda-Frente, com 2 Es, 3 Ds e 5 Fs. Por exemplo, talvez ele
escolha FFDEFEDFFD. Ele só chega ao destino se escolher a seqüência certa.
A probabilidade de que ele chegue ao destino é portanto 1 sobre o número
de seqüências deste tipo que é binom(10,5)*binom(5,2) = 252 * 10 = 2520.
Assim, P = 1/2520 e P/P' = 59049/2520 = 6561/280 ~= 23.43.

Podemos aumentar a probabilidade P' se soubermos, por exemplo,
que seguir em frente é mais provável do que seguir à direita ou esquerda.
Se atribuirmos a F a probabilidade 1/2 e a D e E as probabilidades 1/4 e 1/4
teremos P' = 1/2^5 * 1/4^3 * 1/4^2 = 1/32768.
Podemos aumentar ainda mais P' se soubermos que D é um pouco mais provável
do que E: se as probabilidades de F, D e E forem 1/2, 3/10 e 1/5,
respectivamente, teremos
P' = 1/2^5 * (3/10)^3 * 1/5^2 = 27/800000 ~= 1/29630.
Por outro lado, aí parece que já estamos chegando perto demais de termos
a informação do item (ii).

[]s, N.