RES: Algo muito(issimo) mais dificil sobre a funcao maior inteiro

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

para o primeiro, o ideal é vc antes mostrar que

[(2+sqr3)^n]=(2+sqr3)^n + (2-sqr3)^n - 1
nao eh muito dificil de mostrar isso. a ideia de tentar isso pode ser um
pouco dificil a principio, mas varias "partes inteiras" desse tipo podem ser
calculadas exatamente dessa maneia. e uma vez feita a conjectura certa nesse
caso, costuma ser facil prova-la.
(i)  olhando para o desenvolvimento dos binomios de newton do lado direito,
concluimos que a parte direita é um numero inteiro.
(ii) agora se o lado direito eh K, basta vc mostrar que K<(2+sqr3)^n<K+1, o
que tmb da pra fazer ja que 2-sqr3 < 1 e portanto (2-sq3)^n - 1 < 0 .
isso prova o lado esquerdo. o lado direito eh mais facil, pq (2-sq3)^n eh
sempre maior que zero.
dai vc pela propria expansao binomial conclue sobre a paridade dele.

outra maneira de ver um pouco mais do que isso, segue adiante: pode parecer
inutil nesse problema, mas ajuda muito em outros.
eh vc ver que os numeros 2+sq3 e 2-sq3 sao raizes de x^2-4x+1 e portanto
pode-se mostrar que (2+sqr3)^n - (2-sqr3)^n eh solucao da recorrencia
x_n+2 - 4x_n+1 + x_n = 0, com x_0=-1 e x_1=3.
Entao, teremos x_2=4x_1-x_0=12+1=13
e se x_n for impar, teremos x_n+2=4x_n+1 - x_n que é impar sempre que x_n eh
impar.


Continuando o costume, fica esse problema da revista eureka, do artigo de
numeros complexos, e cuja solucao eh bem parecida com essa ultima de cima:
(a)Prove que para qualquer natural n, (2+i)^n eh diferente de (2-i)^n
(b)Conclua que o triangulo pitagorico (3,4,5) nao tem angulos racionais
(expressos em graus) alem do de 90 graus.
(c) generalize.

Um caso de aplicacao legal de um problema parecido com o original que
resultou nessa mensagem aparece na solucao da quarta questao da OBM desse
ano, que ja foi posta aqui na lista. (provar que para 'quase' todo numero
real a, [na] alguma hora eh maior que 0,6).

abracos,
Marcio

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Jorge Peixoto Morais
Enviada em: sexta-feira, 17 de novembro de 2000 21:17
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Algo muito(issimo) mais dificil sobre a funcao maior inteiro


Prove que [(2+sqr3)^n] eh impar para todo n natural. [x] denota "funcao
maior inteiro".


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"Diga se existe um real positivo tal que [nx] eh impar para todo n inteiro
positivo; [x] denota o inteiro k tal que k<x<k+1".
Chame tal real de r. Pondo n=1, tempos que [r] eh impar. Ou seja, r=1+2t+q
em que t eh inteiro nao negativo e q eh a "parte quebrada". Como 2t eh
inteiro positivo par, nao altera em nada a paridade. Entao podemos por
r=1+q. Pondo n=2, temos que 1<2q<2, ou 0,5<q<1. Se n=3, temos que 2/3 <q<1.
Se n=4, 3/4<q<1. Se n=5, 4/5 <q<1. Ou seja, temos um q menor que um ,
positivo e maior que 1-1/a para todo a natural. Impossivel.