Marcelo Souza wrote:
olá pessoal!________________________________________________________________________________
Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim
(1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) >= 64
sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos.Obrigado
abraços
Marcelo
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Olá Marcelo,
Na lista já apareceu vários demonstrações
bonitas, entretanto equivalentes,para a desigualdade proposta
por você.
Esta desigualdade foi proposta numa olimpiada Russa.
Com intuito de colaborar , apresento mais uma demonstração
abaixo:
Uma possível demonstração para a desigualdade:
Da desigualdade entre a média aritmética e geométrica,
para tres números reais quaisquer, a, b e c, não
negativos, tem-se:
(1/3).(a+b+c)>= (a.b.c)^(1/3) (*)
Assim, sendo X , Y e Z números
reais positivos quaisquer, tem-se:
Para a = X/(X+1) ,
b = Y/(Y+1) e c = Z/(Z+1)
de (*):
(1/3).[ (X/(X+1) + Y/(Y+1) + Z/(Z+1)] > = [
X.Y.Z /(X+1).(Y+1).(Z+1) ] ^ (1/3)
(I)
Para a = 1/(X+1) , b =
1/(Y+1) e c = 1/(Z+1)
de (*):
(1/3).[ (1/(X+1) + 1/(Y+1) + 1/(Z+1)] > =
[ 1 /(X+1).(Y+1).(Z+1) ] ^ (1/3)
(II)
Adicionando-se, (I) e (II), membro a membro, obtém-se:
1> = [ 1 + ( X.Y.Z) ^ (1/3) ] /
[ [(X+1).(Y+1).(Z+1)] ^ (1/3) ]
Fazendo X = 1/x , Y = 1/y
e Z = 1/z , com x + y +z = 1, na desigualde
acima, resulta
[ (1+1/x).(1+1/y).(1+1/z) ] ^ (1/3)>= 1+ [ 1/(x.y.z) ^ (1/3) ]
(III)
Por outro lado, decorre de (*), que 1 / [(x.y.z) ^ (1/3) ] > = 1 / [(x+y+z) / 3] = 3
Portanto, podemos escrever de (III) que:
[(1+1/x).(1+1/y).(1+1/z)] ^ (1/3) > = 1+ 3 = 4, ou melhor ainda,
[(1+1/x).(1+1/y).(1+1/z)] > = 4^3 = 64
PONCE