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Claro que posso. Vou ser bem passo-a-passo. Olhe:
se 3^x=5, e x é igual a p/q, entao 3^(p/q)=5.
Vou elevar os dois membros a q:
3^[(p/q)q]=5^q.
Cancelando os "q"s no expoente de 3,
temos:
3^p=5^q. Mas lembre-se de que, se um número é
racional, é resultado da divisão de dois inteiros; e x deve ser maior que zero,
pois x<0 => 3^x<3<5, ou seja, 3^x não é igual a 5 se x<0. Então
podemos admitir que os dois inteiros sao positivos (pois x eh positivo). E
isso eh um absurdo: 3 elevado a um inteiro positivo soh tem fatores iguais a 3
(por exemplo, 3^3 =3x3x3) e 5 elevado a um inteiro numero positivo soh tem
fatores iguais a 5 (por exemplo: 5^4=5x5x5x5). Entao como 3^p e 5^q podem
ser iguais? A resposta eh: não podem. Entao, algo no raciocinio deve estar
errado. Como fiz tudo rigorosamente certo desde que admiti que x=p/q, p e q
inteiros, o erro soh pode estar nisso: p e q serem inteiros. Ou seja: x nao eh
racional pois nao pode ser colocado como divisao de inteiros.
PS: A minha intuicao masculina me diz que x tambem
deve ser trascedente, mas eu nao consigo provar (numero transcedente eh um
numero que nao pode ser a raiz de um polinomio de coeficientes racionais - por
exemplo, raiz de 3 nao eh transcedente porque x^2 -3 = 0 tem 3 como raiz, mas pi
eh transcedente porque nehuma equacao de coeficientes racionais pode ter pi como
raiz).
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