Re: Acho que ninguem tentou resolver este problema

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

-----Mensagem Original-----
De: Eduardo Quintas da Silva <edquintas@ig.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Segunda-feira, 9 de Outubro de 2000 11:07
Assunto: Acho que ninguem tentou resolver este problema


Seja a_n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a_93 / a_49

Entende-se por a_n : a índice n.


-----Mensagem Original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quarta-feira, 18 de Outubro de 2000 20:45
Assunto: 2problemas


Oi pessoal da lista!
Alguém poderia resolver pra mim os dois problemas que se seguem.
1. Sendo S_1 a sequencia 1,2,3,4,5,6,..., S_2 a sequencia 2,3,4,5,6,7,...e
S_3 a sequencia 3,3,5,5,7,7,.... Generalizando S_n+1é obtida tomando S_n e
adicionando 1 para cada inteiro que é divisível por n. Ache todos os n
inteiros tal que os primeiros n-1 inteiros de S_n são n.

2.Dado um triangulo retangulo ABC (com AB hipotenusa), sobre o lado AC
marcamos um ponto P, sobre a hipotenusa AB marcamos P', sobre BC marcamos
P''. Unindo estes tres pontos forma-se um quadrado CPP'P'' de lado 441.
Dado o mesmo triangulo ABC congruente (com AB tb hipotenusa e os catetos tb
os mesmos do anterior-ou seja, sem trocar a ordem dos tamanhos). Marquemos
os pontos A' em AC, B' em BC, C' e D' em AB, tais que A'B'C'D' formem um
quadrado de lado 440. Calcule AC + CB.

Obrigado
abraços
Marcelo-(Peço desculpas pelo modo "narrado" do segundo problema. Este contem
duas figuras e preferi não mandar em anexo, pois poderia naum funcionar pelo
tamanho)


Sauda,c~oes,

Escrevi para o prof. Rousseau propondo os seguintes problemas  (ver
as mensagens acima):

1) Seja a_n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a_93 / a_49

2) Sendo S_1 a sequencia 1,2,3,4,5,6,..., S_2 a sequencia 2,3,4,5,6,7,...e
S_3 a sequencia 3,3,5,5,7,7,.... Generalizando S_n+1é obtida tomando S_n e
adicionando 1 para cada inteiro que é divisível por n. Ache todos os n
inteiros tal que os primeiros n-1 inteiros de S_n são n.

Sua resposta:

Dear Luis:

    I solved the second problem, and I will write it up as a TeX
file and send it to you.  I haven't found the key to the first problem
that allows one to express the remainder in some kind of reasonable
form.  I'll mention the second one to my Putnam students, since
we have just been talking about number theory.

Cecil

Ou seja, ele n~ao conseguiu resolver o primeiro e acabou de me mandar
um arquivo LaTeX para o segundo.

Meus coment'arios:

1) pe,co a fonte para o primeiro problema, visto sua aparente dificuldade,
e tamb'em que os membros da lista tentem resolv^e-lo.

2) vi a solu,c~ao do segundo. 'E muito dif'icil (n~ao 'e `a toa que ele vai
apresent'a-lo a seus estudantes que se preparam para o Putnam) e pe,co
tamb'em sua fonte.

Temos agora um problema. O arquivo escrito em LaTeX 'e muito comprido
e realmente seria louco de coloc'a-lo na lista (al'em de ser dif'icil de
ler).
Posso mand'a-lo para aqueles que rodam LaTeX; ou mando o arquivo
dvi e algu'em que possa, (eu n~ao tenho o programa) cria o arquivo pdf
correspondente;
ou,  o que acho melhor, fa,co uma vers~ao jpg do resultado e mando como
arquivo anexado (esperando, como acho, que ser'a menor do que 20MB).

[ ]'s
Lu'is