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Sauda,c~oes,
OK, OK, concordo que exagerei no TeX mas meu objetivo sempre
foi de tornar
a mensagem clara. Esta em particular (para justificar o
TeX e introduzir seus
s'imbolos aos poucos no nosso
vocabulário) foi infeliz pois introduziu alguns
conceitos digamos pouco conhecidos que vieram juntar-se ŕ
dificuldade em
escrever matemática aqui na lista.
Isso posto, retomo a mensagem sobre os polin^omios colocando-a
numa forma
que espero seja mais do gosto da lista.
Acho que deveria come,car com a nota,c~ao:
---------- (in'icio da nota,c~ao)
Delta - aquele s'imbolo usado para representar o
discriminante na equa,c~ao do
segundo grau. Aqui ser'a o operador diferen,ca, ou seja, Delta
p(x) = p(x+1) - p(x).
Delta^2, Delta^3 etc representam a segunda, terceira etc
diferen,cas.
{x\choose i} - bom, este vai ficar assim mesmo. Se x 'e um
n'umero inteiro positivo,
{n\choose i} representa o n'umero n! / i! (n-i)! (coeficientes
do bin^omio). Se x 'e um
n'umero real, {x\choose n} = x(x-1)(x-2)...(x-n+1) / n!
.
S_n - S 'indice n
a_1 - a 'indice 1
------------ (fim da nota,c~ao)
Segue a mensagem enviada para a lista com modifica,c~oes na
apresenta,c~ao das f'ormulas.
Seja p(x) um polin^omio em x de grau n. Mostra-se que (em livros de C'alculo Num'erico, por exemplo) podemos escrever p(x) como
p(x) = p(1) + Delta p(1) {x-1\choose 1} + \Delta^2 p(1) {x-1\choose 2} + ... + \Delta^n p(1) {x-1\choose n}, onde, repetindo para facilitar a compreens~ao do s'imbolo, {x-1\choose n} = (x-1)(x-2)...(x-n) / n! . De posse deste resultado, podemos resolver facilmente dois problemas que apareceram recentemente na lista: i) Sabendo que p(x) 'e de quinto grau, p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=1 e p(6)=0, calcule p(0). p(x) = p(1) + \Delta^5 p(1) {x-1\choose 5} pois \Delta p(1) = \Delta^2 p(1)=\Delta^3 p(1)=\Delta^4 p(1)=0. Como \Delta^5 p(1) = -1, vem: p(x) = 1 - {x-1\choose 5} e p(0) = 1 - (-1)(-2)(-3)(-4)(-5) / 5! = 2. ii) calcule S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2. S_n 'e um polin^omio de grau 3. Ent~ao, S_n = a_1 + Delta a_1 {n-1\choose 1} + Delta^2 a_1 {n-1\choose 2} + Delta^3 a_1 {n-1\choose 3} Como a_1=1, Delta a_1=4, Delta^2 a_1=5 e \Delta^3 a_1=2, resulta: S_n = 1 + 4(n-1) + 5(n-1)(n-2)/2 + 2(n-1)(n-2)(n-3)/6 E com alguns c'alculos simples, S_n = n(n+1)(2n+1)/6. Voc^e agora poderia calcular S_n = 1^3 + 2^3 + ... + n^3. Dica: S_n 'e de grau 4. Obs.: esta j'a 'e uma boa sa'ida para calcular tais somas. Melhor ainda 'e usar o conceito de antidiferen,cas. Temos o seguinte resultado: se F(i) 'e uma antidiferen,ca de f(i), ent~ao f(1) + f(2) + ... + f(n) = F(n+1) - F(1). Assim, se f(i) = i^2 = i + i(i-1), ent~ao F(i) = [i(i-1)/2] + i(i-1)(i-2)/3 e 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = F(n+1) - F(1) = F(n+1) = n(n+1)(2n+1)/6. Espero que a mensagem agora esteja mais
clara.
[ ]'s
Lu'is -----Mensagem Original-----
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