Re: Triângulos...

["Pedro" <phns@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

Muito Obrigado aos que responderam...


>Oi Pedro... suponho eu que você queira a demonstração da altura do
triangulo
>(inclusive), pois torna-se muito evidente a demonstração, sabendo que S=
>bh/2, sabemos que h=2/b.sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)...(estou usando b como base e
>obviamente um dos lados). Daí, substitui-se e temos:
>S=b/2.2/b.sqrt(p-a)(p-b)(p-c), com isso cancelando vem a igualdade.
>Vou provar a altura de um triângulo. Provado a altura relativa a uma base é
>só fazer o dito acima.
>Num triangulo ABC, pegamos uma perpendicular de a a base BC. Temos que
AB=c,
>AC=b, BC=a, e AH=ha(altura relativa ao vértice A).
>Da lei dos cossenos vem que b^2=a^2+c^2-2ac.cosb1, pelo desenho, observa-se
>que (obs: b1 = angulo relativo ao vertice B) cosb1=BH/c, daí: c.cosb1=BH
>(que será substituída na relação da lei dos cossenos).
>b^2=a^2+c^2-2ac.cosb1
>b^2=a^2+c^2-2a.BH
>BH=c^2+a^2-b^2/2a
>Agora, usamos pitágoras no triangulo ABH,
>ha^2=c^2-BH^2
>substituindo BH
>ha^2=c^2-[c^2+a^2-b^2/2a]^2
>ha^2=4a^2c^2-(c^2+a^2-b^2)^2/4a^2
>ha^2=(2a)^2-(c^2+a^2-b^2)^2/4a^2
>Repare que o numerador é uma diferença de quadrados
>a^2-b^2=(a-b)(a+b)...fatorando
>ha^2=(2ac+c^2+a^2-b^2)(2ac-c^2-a^2+b^2)/4a^2
>sabendo que a^2+2ac+c^2=(a+c)^2, -a^2+2ac-c^2=-(a-c)^2, temos:
>ha^2=[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]/4a^2
>Outra diferença de quadrados no numerador, mesmo esquema, fatorando:
>ha^2=(a+c+b)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)/4a^2
>Agora, observe que
>a+b+c=2p
>b+c-a=2(p-a)
>a+c-b=2(p-b)
>a+b-c=2(p-c), substituindo isso:
>ha^2=2p.2p(p-b).2p(p-c).2p(p-a)/4a^2
>ha^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)/4a^2
>ha=2/a.sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)
>
>Aí está a altura de um triângulo. Agora é só fazer o que fiz no início.
>Espero ter ajudado.
>Abraços
>Marcelo
>
>>From: "Pedro" <phns@compuland.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Triângulos...
>>Date: Sun, 1 Oct 2000 09:56:17 +0100
>>
>>Alguém poderia demonstrar aquela fórmula para calcular a área de um
>>triângulo de lados a,b e c "sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))"?
>>
>>
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