Re: Triângulos...

["Marcelo Souza" <marcelo_souza7@xxxxxxxxxxx>]

Oi Pedro... suponho eu que você queira a demonstração da altura do triangulo 
(inclusive), pois torna-se muito evidente a demonstração, sabendo que S= 
bh/2, sabemos que h=2/b.sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)...(estou usando b como base e 
obviamente um dos lados). Daí, substitui-se e temos: 
S=b/2.2/b.sqrt(p-a)(p-b)(p-c), com isso cancelando vem a igualdade.
Vou provar a altura de um triângulo. Provado a altura relativa a uma base é 
só fazer o dito acima.
Num triangulo ABC, pegamos uma perpendicular de a a base BC. Temos que AB=c, 
AC=b, BC=a, e AH=ha(altura relativa ao vértice A).
Da lei dos cossenos vem que b^2=a^2+c^2-2ac.cosb1, pelo desenho, observa-se 
que (obs: b1 = angulo relativo ao vertice B) cosb1=BH/c, daí: c.cosb1=BH 
(que será substituída na relação da lei dos cossenos).
b^2=a^2+c^2-2ac.cosb1
b^2=a^2+c^2-2a.BH
BH=c^2+a^2-b^2/2a
Agora, usamos pitágoras no triangulo ABH,
ha^2=c^2-BH^2
substituindo BH
ha^2=c^2-[c^2+a^2-b^2/2a]^2
ha^2=4a^2c^2-(c^2+a^2-b^2)^2/4a^2
ha^2=(2a)^2-(c^2+a^2-b^2)^2/4a^2
Repare que o numerador é uma diferença de quadrados 
a^2-b^2=(a-b)(a+b)...fatorando
ha^2=(2ac+c^2+a^2-b^2)(2ac-c^2-a^2+b^2)/4a^2
sabendo que a^2+2ac+c^2=(a+c)^2, -a^2+2ac-c^2=-(a-c)^2, temos:
ha^2=[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]/4a^2
Outra diferença de quadrados no numerador, mesmo esquema, fatorando:
ha^2=(a+c+b)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)/4a^2
Agora, observe que
a+b+c=2p
b+c-a=2(p-a)
a+c-b=2(p-b)
a+b-c=2(p-c), substituindo isso:
ha^2=2p.2p(p-b).2p(p-c).2p(p-a)/4a^2
ha^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)/4a^2
ha=2/a.sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)

Aí está a altura de um triângulo. Agora é só fazer o que fiz no início.
Espero ter ajudado.
Abraços
Marcelo

>From: "Pedro" <phns@compuland.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Triângulos...
>Date: Sun, 1 Oct 2000 09:56:17 +0100
>
>Alguém poderia demonstrar aquela fórmula para calcular a área de um 
>triângulo de lados a,b e c "sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))"?
>
>

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