IMO2000- problema2

[Bruno Leite <superbr@xxxxxxx>]

IMO2000-Problema 2
a,b,c sao reais positivos e abc=1.

Mostre que (a - 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a)<=1.

O Eduardo Tengan me deu a seguinte dica:
Faca a=u/v, b=v/w, c=w/u, com u,v,w>0. Ai' foi *muito* facil
completar...vou ate deixar um espaco para quem nao quiser olhar.


















(espaco)
















Substituindo temos:

(u/v - 1 + w/v)(v/w - 1 + u/w)(w/u - 1 + v/u)<=1
ou (u - v + w)(v - w + u)(w - u + v)<=uvw (***)

Chamando (u+v+w)=2p, temos (2p-2v)(2p-2w)(2p-2u)<=uvw
ou ainda (p-v)(p-w)(p-u)<=uvw/8

CASO 1)Se u,v,w sao lados de um triangulo, temos
p(p-v)(p-w)(p-u)/R <= (p/2)(uvw/4R) [R eh o raio da circ.circunscrita]
(Area)^2 /R <= (p/2)(Area)
(Area)r/R <= pr/2 = (area)/2 [R eh o raio da circ.inscrita]
r/R<=1/2 ou 2r<=R, o que é verdade para qualquer triangulo (isso eh
consequencia de um teorema de Euler)

CASO 2) Se u,v,w nao formam triangulo, temos u>=v+w ou v>=u+w ou w>=u+v

Eh facil ver que o lado esquerdo de (***) eh negativo ou nulo, e portanto
claramente menor que uvw, que eh positivo.

Como de costume, pode haver algum erro na solucao e se alguem achar eu
gostaria que avisasse para a lista.
Ou ainda, ela pode estar _completamente_ errada, como aconteceu com a minha
"solucao" do problema 5...
Aliás eu fiquei bem surpreso com a solucao do Gugu pois eu( e alias varios
colegas do IME-USP tambem) pensava que realmente nao haveria um numero
assim....

Bruno Leite