Re: Problema

["Alexandre F. Terezan" <aleterezan@xxxxxxxxxxxxx>]

DE FATO a#93/a#49 NÃO é inteiro, como se vê abaixo.

(3^93 + 4^93) $ 3 (mod 7)
(3^49 + 4^49) $ 4 (mod 7)

$ representa congruência

Novamente desculpem-me pela asneira anterior.

----- Original Message -----
From: "Ecass Dodebel" <ecassdodebel@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sábado, 19 de Agosto de 2000 18:21
Subject: Re: Problema





>From: "Alexandre F. Terezan" <aleterezan@wnetrj.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Problema
>Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300
>
>Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há
>muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado.
>  A resposta genérica é de fácil deduçao.
>
>Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará
>multiplicacoes.
>
>a#n = 6^n + 8^n
>
>a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) =
>= [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] =
>= 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)]                      (1)
>
>Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado.

Olá Alexandre,

perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja,
você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão
euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com R<a#49

Obrigado!



>
>Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R  (2)
>
>Seja 3^49 + 4^49 = a   e   3^93 + 4^93 = b.
>
>Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k
>
>Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -->  R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a]
>
>Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44.
>
>Portnato, para que R seja natural,
>o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2).
>
>Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar.
>
>Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o
>quociente também será ímpar.
>
>Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p
>
>Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos:
>
>2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p
>
>Daí,  2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak
>
>Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak
>
>Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ].
>
>2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar.
>
>Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap).
>
>Para isso, é necessario e suficiente que a divida b.     (CONCLUSAO 1)
>
>Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] =
>= 2^44 * (b/a)
>
>Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro
>positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49.
>
>Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO.
>
>Resposta: ZERO.
>
>Espero ter ajudado, apesar da demora.
>
>Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan.
>
>----- Original Message -----
>From: "Eduardo Quintas da Silva" <edquintas@ig.com.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21
>Subject: Problema
>
>
>Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49.....
>
>Entende-se por a*n : a índice n.
>
>

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