Re: Problemas de vetores

[Demétrius <projetonina@xxxxxxxxx>]

Em 19:39 10/08/2000 -0300, você escreveu:
> 1. Use métodos vetoriais para provar que todo
> triângulo inscrito em uma
> semicircunferência é reto.
>
> 2. Utilize vetores para provar que a distância entre um ponto P(Xo,Yo) e
> uma
> reta ax + by + c = 0 no plano xy é igual a
>
>                                    
> ( |aXo + bYo + c| ) / sqrt (a^2 + b^2)
>
> David

- usaremos sempre letras maiúsculas para designar vetores e pontos. Da
mesma Forma, XY será o vetor paralelo ao segmento que liga o ponto X ao
ponto Y.
- X^2 é o mesmo que "X elevado ao quadrado"
-sqrt(X) é a raiz quadrada de X.

É doloroso falar sobre vetores no R3 sem uma única figura, mas... Vamos
tentar.

1 - Considere uma circunferência com centro na origem de um sistema de
eixos cartesianos. Os vetores cujas  extremidades são a interseção
da circunferência com o eixo horizontal chamaremos de A e -A. Eles
coincidem obviamente com dois dos vértices do referido triângulo
supostamente com a base coincidindo com um diâmetro. O terceiro vértice
será representado pela extremidade do vetor B. Os lados "não
horizontais" do referido triângulo são paralelos a e têm o mesmo
módulo que os vetores A+B e A-B.
Mas (A+B).(A-B)=(modA)^2 -(modB)^2 . Como A e B têm módulo igual ao raio
da circunferência,
(A+B).(A-B)=0 
O que implica que os A+B é perpendicular a A-B. E A+B e A-B são paralelos
aos lados "não horizontais" do nosso triângulo, estes também
são perpendiculares entre si, logo o triângulo é retângulo.

2 - Considere a reta no R2 definida por ax+by+c=0  e um ponto Po
qualquer fora da reta no plano xy. O vetor (a,b) é perpendicular à reta.
Consideremos agora a projeção ortogonal P1 de Po sobre a reta e um ponto
P2 qualquer pertencente à reta diferente de P1. O triângulo PoP1P2 é
retângulo em P1 e a distância do ponto Po à reta pode ser vista como

mod(PoP1.PoP2)/mod(PoP1).

 Isto porque este último produto escalar (PoP2) nos dá o módulo de
PoP1 multiplicado por ele mesmo( que é a projeção de PoP2 na direção de
PoP1). 

PoP1=k(a,b)

        

PoP2=(x2-xo,y2-yo)
onde x2, y2 são as coordenadas de P2 e xo,yo são as coordenadas de
P.

        

Logo,
PoP1.PoP2=k(ax2+by2-(axo+byo))

        

Relembrando
a equação da nossa reta ax+by+c=0, como o ponto P2 pertence à reta,
então: ax2+by2=-c
e

        

mod(PoP1.PoP2)=mod(k(axo+byo+c))

        

mod(PoP1)=mod(k).sqrt(a^2+b^2)

Desta forma, eliminando o k teremos a equação que nos dá a distância do
ponto ao plano

distância= mod((axo+byo+c)/sqrt(a^2+b^2))

        

De maneira análoga podemos demonstrar para um ponto e um plano.
Interessante é que o método acima não deve ser levado a sério para o caso
de uma reta no R3. Para este caso penso que seja mais conveniente usar o
produto vetorial em lugar do produto escalar... 

2 - Considere um plano ax+by+cz+d=0 e um ponto P fora do plano.
Consideremos também a projeção ortogonal de P sobre o referido plano que
é a extremidade do vetor P1. Como o vetor V=(a,b,c) é perpendicular
àquele plano, ele será paralelo ao vetor que liga P1 a P (ou seja, ao
vetor (P1-P)).

        

Logo,

        

P1-P=k.(a,
b, c)

        

Olhemos
agora  um  ponto P2  qualquer do plano, diferente de P1.

        

O
triângulo de vértices P, P1 e P2 é retângulo em P1. e a distância que
almejamos achar pode ser calculada como mod(PP1.PP2)/mod(PP1). Isto
porque este último produto escalar nos dá o módulo de PP1 multiplicado
por ele mesmo( que é a projeção de PP2 na direção de PP1).

        

PP1=k(a,b,c)

        

PP2=(x2-x,y2-y,z2-z)
onde x2, y2 e z2 são as coordenadas de P2 e x,y,z são as coordenadas de
P.

        

Logo,
PP1.PP2=k(ax2+by2+cz2-(ax+by+cz))

        

Relembrando
a equação do nosso plano: ax+by+cz+d=0, como o ponto P2 pertence ao
plano, então: ax2+by2+cz2=-d 
e

        

mod(PP1.PP2)=mod(k(ax+by+cz+d))

        

mod(PP1)=mod(k).sqrt(a^2+b^2+c^2)

Desta forma, eliminando o k teremos a equação que nos dá a distância do
ponto ao plano

distância= mod((ax+by+cz+d)/sqrt(a^2+b^2+c^2))

        

Se errei alguma coisa, desculpe... Corrija-me, por favor.

Um abraço.

Demétrius.