Re: Variacao do Morgado

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Variacao do Morgado
>Date: Mon, 31 Jul 2000 13:13:19 -0300
>
>Saudac,o~es,
>
>O Morgado me pediu para colocar a mensagem abaixo.
>
>[ ]'s
>Lui's
>
>Date: Sat, 29 Jul 2000 14:19:46 -0300
>From: Augusto Morgado <morgado@centroin.com.br>
>To: llopes@ensrbr.com.br
>Subject: (no subject)
>
>
>Se voce puder, jogue este problema na lista. Tudo que tento colocar esta
>sendo truncado ou devolvido.
>
>Andou pela lista um problema, brilhantemente resolvido alias, que era
>mostrar que (36x+y)(36y+x), com x e y inteiros positivos, nao poderia
>ser uma potencia de 2.
>Proponho uma variacao:
>Mostrar que existem inteiros x e y tais que (36x+y)(36y+x) eh uma
>potencia de 2.
>Morgado
>
>
>
USO o sinal # para indicar soma.

Eu não tenho certeza se está completa a minha prova de que não existem esses 
inteiros x e y. Mas vejam a minha idéia:
Suponhamos (36x # y) e (36y # x) pares, logo x e y são pares e (x/2,y/2) 
também torna o produto uma potencia de 2. Tomemos a solucao (x,y) que tem o 
menor valor de |x|, se os termos (36x # y) e (36y # x) forem pares, 
(x/2,y/2) é solução, o que contradiz a minimalidade (acho que se escreve 
assim) da solução (x,y), logo, sem perda de generalidade, (36x # y) deve ser 
igual a 1 ou -1, daí:
--
36x # y =1,  y = 1-36x, logo (36y # x)=(1-36^2)x # 36 = 2^z, e queremos que 
2^z == 36 (mod 36^2-1), o Maple V acusa a não existência de tal z.
--
36x # y =-1,  y = -1 - 36x, logo (36y # x)=(1-36^2)x - 36 = 2^z, e queremos 
que 2^z == -36 (mod 36^2-1), novamente o Maple V diz que não existe z.
Conclusão. não existe esse par (x,y).

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.

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