Re: ajuda

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Augusto Morgado wrote:
> 
> Filho wrote:
> >
> > Prove esta  desigualdade:
> > a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1
> > para todo
> > os inteiros positivos a, b e c.
> >  
> > a^2: significa a elevado a 2
> > / : significa dividido
> 
> Aqui vai uma versão mais bem escrita da solução como penitência pela
> asneira que escrevi antes.
> 
> Dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador ,
> chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >= 1 com xyz=8.
> 
> Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior
> ou igual à geométrica, que vale 2.
> Logo, x+y+z é maior ou igual a 6.
> Fazendo a soma das frações em 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) obtemos
> (3+2S+T)/(1+S+T+P) = (3+2S+T)/(9+S+T) onde S=x+y+z, T=xy+yz+zx e
> P=xyz=8.
> Mas (3+2S+T)/(9+S+T) = 1 + [(S-6)/(9+S+T)] que é maior ou igual a 1
> porque S é maior ou igual a 6 e 9+S+T é positivo.
> 
> Morgado