Enunciado
Duas circunferências G1 e G2 interceptam-se em M e
N.Seja t a reta tangente comum a G1 e G2 mais próxima de M.
Sejam A e B os pontos de intersecção de t com G1 e G2
respectivamente.Seja s a reta paralela a t por M, C a sua intersecção
com G1 e D com G2 .As retas CA e DB interceptam-se em E, as retas AN e
CD interceptam-se em
P e as retas BN e CD interceptam-se em Q. Mostre que EP = EQ.
(Origem: IMO – 2000)
Observação: o texto acima é uma adaptação do texto em Inglês, mas mantendo o mesmo significado.
Uma possível solução
Sejam O e K os centros de G1 e G2 respectivamente,
R e S as intersecções de s com OA e
KB respectivamente e L a
intersecção da reta MN com a reta
t.
Do paralelismo de t e s,segue-se que:
- OA e KB são ambos perpendiculares
as retas t e s.
- Os pares de triângulos (NPQ,
NAB) e (EAB e ECD) são semelhantes.
Da potência do ponto L em relação
a G1 e G2 resulta que:
LA^2 = LM.LN = LB^2 .Daí, LA = LB
e conseqüentemente NL é mediana do triângulo
NAB relativa ao lado AB.
Sendo NL mediana do triângulo NAB, decorre da semelhança entre NPQ e NAB,(com PQ // AB), que M é ponto médio de PQ, isto é, MP = MQ.
Sendo OA e KB ambos perpendiculares as retas t e s, tem-se que o quadrilátero ARSB é retângulo, CM =2.RM = 2.CR e MD = 2.MS = 2.SD. Conseqüentemente, CD = CM+MD = 2.RM + 2.MS = 2.RS = 2AB.
Como CD = 2.AB; segue-se da semelhança entre EAB e ECD, que EC = 2.EA .
Sendo EC = 2.EA e CM = 2.CR , podemos concluir que os triângulos ECM e ACR são semelhantes (LAL).Como AR é perpendicular a CM, pois OA é perpendicular a s, decorre desta semelhança que EM é perpendicular a CM, conseqüentemente EM é prependicular a PQ.
Portanto, sendo MP
= MQ e EM perpendicular a PQ, podemos
afirmar que o triângulo EPQ é isósceles de base PQ
e conseqüentemente EP = EQ.
Autor: Luiz Antonio PONCE Alonso.
26/07/2000
Nota:
1)Para uma melhor compreensão faça
uma figura com as considerações feitas na resolução.
2)Caso alguém queira uma solução
com figura , e só pedir pelo email: ponce@lbm.com.br
3) Desculpe-me por qualquer falha. Por favor
sinta-se a vontade para contactar-me por email.
4) O enunciado em Inglês ou em Espanhol
encontra-se em www.obm.org.br
"Nicolau C. Saldanha" wrote:
On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote:> A IMO2000 esta disponivel agora tambem em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp
> (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif).
>E ai, ninguém comenta nada da prova?
Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas)
e do 5 (2^n + 1 é múltiplo de n e n tem 2000 fatores primos).
Lembro do enunciado do problema 3:Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas
em uma linha horizontal, não todas no mesmo ponto.
Para um número real positivo l (lambda na prova),
defina um movimento da seguinte forma:Escolha duas pulgas com posições A e B, A à esquerda de B;
A pulga que estava em A pula para o ponto C à direita de B
com BC/AB = l.Determine os valores de l para os quais, para qualquer M
na linha e qualquer posição inicial das pulgas,
existe uma seqüência finita de movimentos que leva todas
as pulgas para posições à direita de M.Segue lá embaixo uma solução xroteada, ou seja, trocando
a por n, b por o, ... Eu recomendo só ler depois de tentar!
Obs: letras acentuadas e pontuação não foram alteradas.
Não reclamem se tiverem dificuldades em decifrar,
eu publicarei uma versão limpa depois...
[]s, N.cuidado, solução se aproximando!
cuidado, solução se aproximando!
cuidado, solução se aproximando!
cuidado, solução se aproximando!
cuidado, solução se aproximando!
cuidado, solução se aproximando!
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cuidado, solução se aproximando!
cuidado, solução se aproximando!
N erfcbfgn é cnen y >= 1/(a-1).
Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf:(n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdüêapvn vasvavgn qr zbivzragbf
dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb
dhnydhre cbagb cersvknqb Z;(o) dhr cnen y < 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvçãb vavpvny qnqn qnf chytnf
rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz aúzreb svavgb qr zbivzragbf
wnznvf nypnaçnz bh hygencnffnz Z.Pbzrçnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvçõrf vavpvnvf
qnf chytnf, pbz k_1 <= k_2 <= ... <= k_a, qr gny sbezn dhr k_a é n cbfvçãb
qn chytn znvf à qvervgn.
Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}).
B cbagb Z pynenzragr rfgá à qvervgn qr gbqnf nf chytnf.
Nsveznzbf dhr fr ncóf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvçõrf fãb
k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf
Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1})
ragãb Z' <= Z; vfgb pbapyhveá n qrzbafgençãb.
Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncóf hz zbivzragb.
Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a
ragãb k'_a - k_a = y*(k_a - k_v) r k'_a - y*k_a = k_a - y*k_v r Z' = Z.
Dhnydhre bhgeb pnfb é nvaqn znvf snibeáiry.B vgrz (n) r n zbgvinçãb cnen n sóezhyn qr Z rh qrvkb cnen ibpêf crafnerz...