Re: Geometria com complexos!

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Aí, Márcio, quanto ao erro tipográfico, tenho certeza que está errado
mesmo... eu até fiz uma solução bem simples.... dá uma olhada :
 Como os Ai formam um pentágono regular, cada corda tem angulo central
72.então, traçando o apótema relativo a um lado, vemos que podemos dizer que
o lado mede 2.Sen36=4.Sen18.cos18=AoA1
E, de modo análogo, traçando a diagonal do pentágono { A3A5 }, vemos que
A3A5=2cos18..... (AoA1.A3A5)=8.sen18.(cos18)^2.
Como sen18=(5^(1/2) -1)/4, tiramos q (cos18)^2=(5+5^(1/2))/8
.: (AoA1.A3A5)={[5^(1/2) - 1][5^(1/2)+1]5^(1/2) }/4 = 5^(1/2)
então, (AoA1.A3A5)^2 = 5, o que impossibilita que o enunciado seja
(AoA1.A3A2)^2 = 5, pois A3A2 < A3A5. !!!!
   Abraços,
      ¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Marcio <mcohen@iis.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 16 de Julho de 2000 19:50
Assunto: Geometria com complexos!


>
>"Dados um ponto P sobre uma circunferência unitária e os vértices A1, A2,
>..., An de um n-agono regular inscrito, prove que:
>PA1^2 + PA2^2 + ... + PAn^2 e
>PA1^4 + PA2^4 + ... + PAn^4 são constantes".
>
> Esse problema esta no artigo de complexos da Eureka 7. Eu até acho que sei
>como resolve-lo, mas gostaria de saber se existe uma solucao mais simples
>usando numeros complexos (tenho esperanca que sim).
> Minha solucao (braçal) seria algo do tipo:
>Chame P de e^ia.
>Entao, PAk = |e^ia - e^(i2pik/n)|.
> E os dois somatorios do enunciado poderiam ser calculados explicitamente
>com as seguintes observacoes:
>i)  |1 - e^ib| = 2sen(b/2) qq q seja b;
>ii) Uso da formula para o calculo do somatorio S (de k igual a 1 ate n) de
>sen (x + yr) e cos(x+yr).
>iii) Uso de expressoes do tipo 2sen^2(b) = 1 - cos (2b); 8sen^4 (b) =
>cos(4b) - 4cos(2b) + 3.
>
> É bem verdade que (ii) e (iii) podem ser demonstradas utilizando-se
>complexos, mas ainda fico na duvida sobre se existe uma solucao mais
>facil/direta para esse problema.
>
> E para completar, mas duas indagacoes :
>1) Da para mostrar que acontece a mesma coisa se o ponto P estiver em qq
>lugar do plano (ou até do espaço)? (acho q ja vi isso num livro).
>2) existe alguma generalizacao para a soma de uma potencia qualquer?
>
> E mais um comentario, acho que há um pequeno erro tipografico no problema
8
>do referido artigo.
>A questao é :
>"A0, A1, A2, A3, A4, A5 dividem a circunferencia unitaria em cinco partes
>iguais. Prove que (AoA1.A3A2)^2 = 5."
>Acho que o correto seria algo do tipo (AoA1.A3A5)^2 = 5...
>
>[]'s,
>Marcio
>
>