Re: faixa de hipérbole

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Seja x_0 = a < x_1 < ... < x_n = b a particao do inetrvalo.
Da figura, tira-se que a area sob a hiperbole menos a area do retangulo
inscrito (tudo isto no k-esimo intervalo) eh menor que a do triangulo
retangulo
de catetos x_k - x_(k-1) e F(x_(k-1))-F(x_k), ou seja:
(1/2)(x_k-x_(k-1)*(1/x_(k-1)- 1/x_k), a qual eh menor que :
(1/2) c * (1/x_(k-1)- 1/x_k).
Somando estas desigualdades para k de 1 a n, tem-se que a diferenca
entre a area da faixa de hiperbole e a soma das areas dos retangulos
inscritos eh menor que:  (1/2) c * (1/x_0 - 1x_n)  = (1/2) c * (1/a -1/b),
ja que
a 1a parcela -1/x_1 cancela com a seguinte 1/x_1, etc.
JP



-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 9 de Julho de 2000 10:59
Assunto: faixa de hipérbole


>Olá
>    Alguém poderia me ajudar enviando a solução do exercício abaixo
>- Dada a decomposição di intervalo [a,b] em intervalos justapostos, o
"erro"
>que se comete ao tomar-se a área do polígono retangular P ao invés da área
>da faixa H(a)_b é a diferença E=(área de H(a)_b) - (área de P). Prove que
se
>tem E<c/2(1/a-1/b), onde c é o comprimento do maior intervalo da
>decomposição.
>Conclua que, fixado [a,b], podemos tornar o erro E tão pequeno quanto se
>deseje (digamos E<e') desde que tomemos uma decomposição de [a,b] por meio
>de intervalos de pequeno comprimento. (digamos, todos menores que a.e'). em
>particular, o erro que se comete ao se substituir a área da faixa H(b)_1
>pela área de um polígono retangular inscrito é inferior ao comprimento do
>maior intervalo da decomposição.
>Notações:
>H(a)_b = faixa da hiperbole limitada pelas abscissas a e b, b>a
>não sei se precisa dizer, mas a função que determina essa hipérbole é
>y=1/x...
>Obrigado
>Abraços
>Marcelo
>________________________________________________________________________
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