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Caro Filho,
Adotando f(x)=x^3+2x+k, calculamos as
respectivas imagens dessa função para os estremos, x=1 e x=-1.
f(1)=k+3
f(-1)=k-3
Assim para q exista uma unica raiz no intervalo
]-1,1[, teremos q ter uma funcao estritamente crescente tal q exista um
unico valor de x q satisfaca f(x)=0 neste intervalo.
Com isso se b<a
f(a)=a^3+2a+k
f(b)=b^3+2b+k
f(a)-f(b)=(a^3-b^3)+2(a-b)
Mas a-b>0 e a^3-b^3>0 => f(a)-f(b)>0 .:
f(b)<f(a) com b<a
O q caracteriza uma funcao estritamente
crescente.
Faltando apenas verificar se no intervalo ]k-3,k+3[
poderemos ter o valor 0.
De onde verificamos q k-3<0 => k<3 e q
k+3>0 => k>-3, ficando provado q com k no intervalo ]-3,3[ teremos uma
unica raiz no intervalo ]-1,1[.
Alexandre H. dos Santos.
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