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Re: Numero Transcendente
Ola Iolanda,
Prazer em conhece-la ! Voce deve ser nova na Lista, nao ? Se
for, seja Bem-Vinda ! Pergunto isso porque nao me lembro de
nenhuma mensagem sua anterior.
Eu nao estou podendo - por circuntancias alheias a minha
vontade - participar da lista como gostaria, de forma que
nao conheco a discussao a qual voce se refere ...
Independente disso posso lhe garantir que a sua observacao e
pertinente, isto e :
Rz_2(2)^Rz_2(2) E IRRACIONAL. [ Rz_2(2)=raiz quadrada de 2
]
A maneira mais simples de se ver isso ( pelo que sei ) e
conforme voce assinala, vale dizer, invocando o Teorema de
Gelfond.
Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se
1) A e algebrico, diferente de zero e um
2) B e irracional
No seu caso, A=B=Rz_2(2) satisfazem as condicoes do Teorema
de Gelfond e, portanto, A^B e transcendente e, portanto,
irracional.
Voce deve ter percebido que se definirmos:
T(1)=Rz_2(2)
T(N+1)= Rz_2(2)^T(N), N > 0
entao T(N) e transcendente - e portanto irracional - para
todo N, N > 1. Se nao percebeu, note que:
T(3)=Rz_2(2)^T(2). Fazendo A=Rz_2(2) e B=T(2) recaimos no
Teorema de Gelfond e concluimos que T(3) e transcendente e,
portanto, irracional. Reiterando este raciocinio para
N=4,5,... voce percebera o que falei.
Duas outras observacoes simples que voce pode fazer sao:
1) T(N+1) > T(N), para qualquer N
2) T(N) < 2, para qualquer N
Estes duas observacoes nos mostram que a sequencia definida
acima e formada so por numeros transcendentes [ a excecao de
T(1)=Rz_2(2) ], estritamente crescente e limitada
superiormente, logo ... E CONVERGENTE ! No meio de tantos
2´s, voce saberia me provar para onde ela converge ?
Bom, finalizando, devo dizer que eu conheco muito pouco
sobre numeros trancendentes. Alem do Teorema acima ( de
Gelfond ), conheco os Teoremas de Liouville, de Hermite e de
Borel ( Voce conhece estes Teoremas ? ) e as implicacoes
elementares que se faz com as equacoes de Euler, com as
series de potencias e os fatos sobre "pi" e "e".
Voce me tratou com uma cerimonia tal que me imaginei como um
vetusto e inacessivel Catedratico ... sou simplesmente um
estudante universitario, com um "montao" de duvidas e ideias
na cabeca.
Um abraco
Paulo Santa Rita
6,0952,30062000
On Thu, 29 Jun 2000 12:35:03 PDT
"=?iso-8859-1?B?SW9sYW5kYSBCcmF6428=?="
<iolanda_marta@hotmail.com> wrote:
>Oi Pessoal,
>
>Engracado. Outro dia vi uma longa discusao na qual nao se
>chegou a resultado
>algum e que nao entendi. Parece que alguem perguntou como
>provar que
>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e irracional. [ estou usando
>raiz_2(N) = raiz
>quadrada de N ].
>
>Nao existe o Teorema de Gelfond ? Nao e verdade que ele
>diz que em A^B se:
>
>1) A e algebrico nao nulo e diferente de 1
>2) B e irracional
>
>entao: A^B e trancendente ?
>
>Nao e isso que diz o teorema de Gelfond ? Se for verdade
>entao em
>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) temos que A=B=raiz_2(2). E
>portanto satisfazem as
>condicoes do Teorema de Gelfond. E portando
>
>(raiz_2(2))^(raiz_2(2)) e transcendente. Logo, irracional.
>
>Eu acompanho as respostas que o Sr da, muito boas. O sr
>pode dizer se estou
>certa ? Pode outro prof fa lista dizer se estou certa !!!
>
>Iolanda
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <psr@zipmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: Problema de Geometria
>>Date: Wed, 05 Apr 2000 08:32:59 -0400
>>
>>Ola Pessoal,
>>Saudacoes a Todos !
>>
>>A desigualdade em foco decorre diretamente da
>DESIGUALDADE
>>TRIANGULAR, vale dizer, promana do fato de que EM
>QUALQUER
>>TRIANGULO QUALQUER LADO E MENOR QUE A SOMA DOS OUTROS
>DOIS.
>>Para ver isso, sejam "a", "b" e "c" os lados de um
>trangulo
>>qualquer. Entao:
>>
>>a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c)
>>1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c)) => a/(a+b+c) > a/(2*(b+c))
>>
>>Usando um raciocinio identido, porem partindo de :
>>
>>b < a+c, chegaremos a ... b/(a+b+c) > b/(2*(a+c))
>>
>>c < a+b, chegaremos a ... c/(a+b+c) > c/(2*(a+b))
>>
>>Somando estas tres desigualdades, ficara :
>>
>>1 > (1/2)*( a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) )
>>
>>ou : a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2
>>
>>Tal "Como Queriamos Demonstrar". A expressao
>>
>>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
>>
>>Nao possui somente o limitante superior, tal como
>acabamos
>>de mostrar. Ela tambem admite um limitante inferior,
>>decorrencia do fato de que as medidas dos lados de um
>>triangulos poderem ser interpretadas como numeros reais
>>positivos. Afirmamos que :
>>
>>a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
>>
>>Quaisquer que sejam "a", "b" e "c" reais positivos.
>Assim,
>>temos :
>>
>>3/2 =< a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2
>>
>>A desigualdade esquerda, aqui tao somente postulada, e de
>>demonstracao tao simples quando a da direita. Fica como
>>Exercicio.
>>
>>a todos,
>>Os Melhores Votos
>>de Paz Profunda !
>>
>>Paulo Santa Rita
>>4,0927,05042000
>>
>>
>>
>>
>>On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200
>>"Marcio" <mcohen@iis.com.br> wrote:
>> > Como resolver?
>> >
>> > Sejam a,b,c lados de um triangulo.
>> >
>> > Prove que [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
>] <
>> >2
>> >
>> > Abraços,
>> > Marcio
>> >
>>
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