RES: Alguns probleminhas interessantes

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

   1) Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos
pertence ao conjunto {1,3,7,9}. Demonstre que B tem um fator primo maior ou
igual a 11.

Suponha B=2^a * 3^b * 5^c * 7^d. Mas como B nao termina em algarismo par,
ele com certeza é impar, e portanto a=0. Com o mesmo raciocinio, já que B
nao termina em 5 nem em zero, B nao é multiplo de 5 e portanto c=0.

Logo B = 3^b * 7^d. Além disso, B > 10.

	Olhe para a sequencia 7^2=49, 7^3=343, 7^4=2401, 7^5=16807..
	Analisando congruencia modulo 100 a sequencia vira:
49,43,01,07,49,...(sequencia 1)
Essa sequência é periódica e portanto todo número da forma 7^d, d>1 tem um
dígito fora do conjunto dado.
Analisando agora a sequencia das potencias de 3 maiores que 9 módulo 100
temos :
27, 81, 43, 29, 87, 61, 83, 49, 47, 41, 23, 69, 07, 21, 63, 89, 67, 01, 03,
09, ... (sequencia 2)

	Isso permite concluir o problema, inclusive afirmando mais. De fato, todo
numero maior que 10 cujos dois ultimos algarismos pertencam a (1,3,7,9) deve
ter um fator primo maior ou igual a 11.

Prova: Um número da forma 3^b * 7^d é o produto de um número da primeira
sequencia por um número da segunda. Mas todos os numeros da primeira
sequencia tambem aparecem na segunda. Ou seja, qualquer que seja d > 1,
existe k tal que 3^k=7^d mod100.
Portanto, olhando mod100: B = 3^b * 7^d = 3^b * 3^k = 3^(b+k) mod 100. Logo,
B deve terminar com um dos termos da sequencia 2. Em particular, B tem um
algarismo diferente de {1,3,7,9}.

	Ou seja, nao pode existir numero composto apenas de 1,3,7,9 sem fator primo
maior ou igual a 11, pois todos os numeros q nao possuem fatores primos
maior ou igual a 11 possuem um digito par entre seus dois ultimos digitos.
OBS: O fato B>10 foi usado para garantir que o 0 aparece na representação
decimal do número.


   5)Achar todas as funções f:N->N estritamente crescentes e tais que
f(n+f(n))=2f(n) para n=1,2,3,...

	Vamos começar tentando dar um valor para f(0), por exemplo f(0)=a.
Então, por um lado f(1+f(1))=2f(1) e por outro sabemos que f(1)>a, isto é,
f(1) = a+p, p natural maior que zero.
Substituindo, temos f(1+a+p)=2(a+p) => f(a+p+1) = (a+p)+(p+1).
Agora, repare que devemos ter a+p=f(1)<f(2)<...<f(a+p+1)=(a+p)+(a+p). Em
particular, todos esses valores devem ser naturais distintos.
Tenho que assignar a+p-1 valores (para f(2), f(3), ... , f(a+p)).
Temos exatamente a+p-1 opções possíveis  (a saber, (a+p)+1, (a+p)+2, ...,
(a+p)+(a+p-1)).
	Portanto, como devemos ter f(2)<f(3)<...<f(a+p) e todas as opções devem ser
usadas, então devemos ter:
f(2)=a+p+1, f(3)=a+p+2, ..., f(a+p)=a+p+(a+p-1). (lembre que
f(a+p+1)=a+p+(a+p)

E quanto valerá f(a+p+2) ?
Ora, n + f(n) = a+p+3 => n + a+p+(n-2)=a+p+2 => 2n-2 = 2 => n=2. Logo,
f(a+p+3)=f(2+f(2))=2f(2)=2(a+p+1)=a+p+(a+p+2).
Segue pelo fato de f ser crescente que f(a+p+2)=a+p+(a+p+1).

Analogamente, é sempre possível mostrar que se i for ímpar,
f(a+p+i)=(a+p)+(a+p+i-1). E a partir daí, como todo par está entre dois
impares consecutivos e pelo fato de f ser crescente, vemos que essa relação
vale ainda quando i é par.
Logo, para todo n temos f(a+p+n)=(a+p)+(a+p+n-1).

Reunindo tudo que foi descoberto, vemos que f deve ser da forma:
	f(0)=a;
	f(1)=a+p=b > a.
	f(2)=b+1;
	...
	f(n)=b+n-1.

Colocando na equacao funcional para ver se serve,
n=0:
f(0+f(0)) = f(a) = b+a-1 se a diferente de zero, e igual a 0 se a=0.
Como queremos igualar essa valor a 2f(0) = 2a, temos duas opções :
(1) se a=0, entao tudo ok.
(2) caso contrário, deve ser b+a-1=2a donde b = a+1.

Portanto, f deve ser de uma dessas duas formas :
(1) f(0)=a, f(1)=a+1, ... , f(n)=a+n. nesse caso a equação funcional dá
certo sempre, pois f(n+f(n))=f(n+a+n)=f(a+2n)=a+(a+2n)=2(a+n)=2f(n)

(2) f(0)=0, f(1)=b, f(2)=b+1, ..., f(n)=b+(n-1) nesse caso, a equaçao
funcional também é satisfeita, pois f(n+f(n)) =
f(n+b+n-1)=f(b+2n-1)=b+(b+2n-1-1)=2(b+n-1)=2f(n).


Portanto, as únicas funções que satisfazem as condições dadas são :
(1) f:N->N, f(k)=a+k, onde a é uma constante natural arbitrária.
(2) f:N->N, f(0)=0 e f(k)=b+(k-1) se k diferente de zero. (aqui b é uma
constante arbitrária).