Re: Um estranho limite

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

Caro Carlos Gomes,

olha o que eu pensei sobre o que voce falou. Pegue uma sequencia infinita, 
x[0], x[1], x[2], ..., de modo que:

x[n + 1] = R ^ x[n]

Ainda nao vamos nos importar por quanto vale x[0] (no seu caso vale R). A 
suposicao que fazemos para calcular o limite de x[n] com n no infinito e':

lim(n->infinito) x[n] = x[n - 1] = R ^ x[n]

donde vem que

x[n] = R ^ x[n]         (n->infinito)

Agora, se supormos que x[n]=2 ou x[n]=4, acharemos para R o valor 2^(1/2). 
Por que dois valores para o mesmo R? Simples, pois depende do x[0] que 
escolhermos. É fácil de verificar que se 0 < x[0] < 4 então x[n]->2. Agora 
se x[0] = 4, vemos que x[0]=x[1]=x[2]=... e assim por diante, então x[n]->4. 
Já para x[0]>4, o limite do x[n] tende para o infinito.
Obs. equivalente a dizer que R^R^...^R=2 e R^R^...^R^4=4 , onde os pontinhos 
representam infinitos "^R".

Eu cheguei a um resultado que nao sei provar bem, e'algo assim:

x[0] = R
x[n+1] = R ^ x[n]

Existe o lim(n->infinito) x[n] (quero dizer que ele e' finito) somente se R 
<= e^(1/e)  (onde esse "e" e' a base dos logaritmos naturais).

Eu tirei isso da curva x = R^x, que tera solucao so se o R<=e(1/e). E onde 
se R=e^(1/e) há somente uma solução x, mas se R<e^(1/e) há mais de uma, e só 
uma é verdadeira para o x[0]=R. O fato é que sendo o R=e^(1/e), 
lim(n->infinito) x[n] = e, e esse e' o maior limite de x[n] que 
encontraremos; se pegarmos um R maior, o limite tende ao infinito, por isso 
y^y^y^... = 4 nào tem solução y real.

Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.


>From: Carlos Gomes <sebs@samnet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Um estranho limite
>Date: Thu, 18 May 2000 00:03:52 -0300
>
>       Olá, carps amigos, como vai tudo bem?. Estou enviando-lhes este
>e-mail para que ajude-me numa
>questão que está engasgada a muito tempo aqui na minha garganta. Eis a
>questão:
>
> > Resolva as equações:
>
>     x^x^x^x^.... =2  e y^y^y^y^....=4 .
>
>Esta questão (principalmente a primeira equação) é bastante conhecida e
>usamos o fato que  x^x^x^x^.... =2 para obter
>x^2=2 e portanto x=sqtr(2) , por outro lado se usarmos o mesmo artifício
>na segunda equação temos que y^4=4 e portanto
>y=sqrt(2) o que gera um paradoxo sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2)
>^....=2=4 ??????????????????????????????????. É um
>fato bastente conhecido que ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^....=2 e não 4 ,
>pois tem a história da convergência da série. Eu já li
>um artigo na RPM 26 ou 27 ,se não me engano, escrito pelo prof. Vicenzzo
>Bongiovanni sobre isto e também já li no livro do
>Paul Halmos - Problems for Young and old mathematicians da MAA um artigo
>sobre isto, mas o grande problema é que
>em ambos artigos o intervalo de convergência da série não é demonstrado
>é apenas citado, Se eu não estou enganado ele
>afirma que a série só converge quando 0<x<e^(1/e). Como faço para
>mostrar isto? Vocês poderiam citar alguma referência em que posso
>encontrar a discurssão deste problema?. Muito grato pela vossa atenção,
>um abraço,
>Carlos A. Gomes -
>Natal/RN
>

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