Re: Re: Complexos - urgente

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Wellington:
Esta curva eh uma elipse. Esqueci de dizer que voce deveria ter definido
tambem o intervalo onde varia o parametro t, ateh porque o indice do caminho
fechado em relacao a 0 conta essencialmente o "numero de voltas" que o
caminho fechado da em torno do 0. Assim, se o intervalo for [0;2 pi], o
indice serah 1, se for [0;4pi], 0 indice serah 2, etc.
Imaginando que seja [0;2 pi], o indice, que eh igual a 1/(2pi*i) vezes a
integarl de 0 a 2 pi de dz/z ao longo do caminho, vai dar 1. Isto eh uma
consequencia de um corolario do Teorema de Cauchy, segundo o qual esta
integral eh a mesma que ao longo de uma circunferencia de centro 0 e raio 1,
a qual pode ser calculada explicitamente: z= e^(it); dz= i e^(it);
indice=1/(2pi*i) * int(0;2pi) i dt= 1.
Se voce insistir em fazer diretamente pela definicao ao longo da elipse, a
parte real vai ser facil mostrar que eh 0 [eh so separar a integral de 0 a 2
pi numa soma de duas: A, de 0 a pi, e B, de pi a 2 pi. Em B, faca a mudanca
de variavel t-pi=s, e verah que B=-A, logo A+B=0]. Ja a parte imaginaria,
darah mais trabalho: creio que se deve separar de modo analogo ao anterior,
obtendo agora 2 vezes uma integral de 0 a pi, e nesta faz-se a mudanca de
variavel u=arc tg(t/2), caindo na integral de uma funcao racional; o
resultado deve dar 2 pi * i, para simplificar e dar 1 no final. Mas confesso
que nao tive paciencia de fazer esta ultima conta. Afinal, o Teorema de
Cauchy existe para ser usado nessas ocasioes...
Jose Paulo


-----Mensagem original-----
De: Wellington Ribeiro de Assis <wassis@epq.ime.eb.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Terça-feira, 16 de Maio de 2000 22:40
Assunto: Re: Re: Complexos - urgente


>Voce tem razao José Paulo Carneiro, eu realmente cometi um
>equivoco. Na realidade, A=a*sen(t)+i*b*cos(t), sendo i a unidade
>imaginária.
>
>
>"Nao entendi bem esta curva. nao serah a cos t+ i b sen t,
>ou algo parecido?
>JP"
>
>-----Mensagem original-----
>De: Wellington Ribeiro de Assis <WASSIS@epq.ime.eb.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Segunda-feira, 15 de Maio de 2000 18:23
>Assunto: Complexos - urgente
>
>
>>Prezados amigos da lista,
>>
>>Estou com problemas com uma integral complexa e gostaria de
>poder
>>contar o quanto antes com a ajuda de voces.
>>
>>
>>A questao eh a seguinte:
>>
>>Calcular o indice de um caminho fechado w(A,0), onde
>>A=a*sen(t)+b*cos(t), a,b>0 e a<>b sem usar homologia.
>>obs: <> significa diferente.
>>
>>
>>definicao de w:
>>w(C,Zo)=[1/(2*pi*i)]*int(C)[dZ/(Z-Zo)],
>>onde Zo nao pertence ao traco do caminho.
>>
>>notacao:
>>'i'  eh a unidade imaginaria
>>'pi' eh o irracional
>>'int(C)' eh a integral no caminho C
>>
>>
>>De imediato podemos concluir que o valor desta integral eh 1,
>pois
>>pelo teorema, como Zo=0, a substituicao da elipse pelo circulo
>de
>>raio unitario nao altera o resultado pois os dois caminhos sao
>>homologos.
>>
>>Agradeco desde jah pelo tempo dispendido.
>>Abracos a todos,
>>Wellington
>