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Re: Problema de inteiros
Talvez uma prova interessante, seria mostrar que a soma de dos múltiplos
seja infinita, então de fato sempre teremos um N<n. Para completar, vc
poderia supor a menor soma de múltiplos positivos possíveis, que neste caso
seria primos, e então mostrar que sempre haverá N<n.
Ats,
Marcos Eike
----- Original Message -----
From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 20:55
Subject: Re: Problema de inteiros
>
> Caro Marcos Eike Tinen dos Santos,
>
> concordo com a sua colocação de que importante é entender que quando
> mdc(x,y)>1 não podemos obter todos os números somando multiplos desses.
> Agora, tratemos do outro problema onde eu me compliquei todo:
> queremos que ax + by = n, com mdc(x,y)=1 e a,b > 0, para isso temos que
> descobrir um N onde satisfazemos essas condições com o n > N.
>
> Na minha solução acho que para N = 2xy sempre conseguimos, mas usei aquele
> processo que eu achei meio artificial e confuso de somar e diminuir axy...
> alguma outra idéia?
>
> Obrigado!
>
>
> >From: "Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@carajasnet.com.br>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: Problema de inteiros
> >Date: Mon, 24 Apr 2000 19:31:30 -0300
> >
> >sim, amigo José, eu só comentei, pois acredito que este seja um dos
pontos
> >cruciais na solução do problema.
> >
> >
> >Ats,
> >Marcos Eike
> >
> >----- Original Message -----
> >From: José Paulo Carneiro <jpcarneiro@openlink.com.br>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 17:51
> >Subject: Re: Problema de inteiros
> >
> >
> > > Se nao forem primos entre si, eh falso. Como voce vai obter 5, que eh
> >impar,
> > > como uma soma de multiplos de 4 e 6?
> > >
> > > -----Mensagem original-----
> > > De: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > Data: Segunda-feira, 24 de Abril de 2000 11:06
> > > Assunto: Re: Problema de inteiros
> > >
> > >
> > > >Um dos fatos importantes a ser considerado, é: Por que o problema nos
> >impõe
> > > >a propriedade de que eles devem ser primos entre si. Será que foi por
> > > acaso?
> > > >Eu penso que essa resposta é a metade do caminho para uma solução bem
> > > >formulada.
> > > >
> > > >Ats,
> > > >Marcos Eike
> > > >
> > > >
> > > >----- Original Message -----
> > > >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Sent: Sábado, 22 de Abril de 2000 17:42
> > > >Subject: Problema de inteiros
> > > >
> > > >
> > > >> E ai, pessoal?
> > > >>
> > > >> Eu estava tentando resolver um dos problemas propostos na última
> >Eureka!
> > > e
> > > >> acabei chegando em uma parte que consigo seguir adiante mas é muito
> > > >> trabalhosa a minha prova, e não sei se está bem certa. Lá vai.
> > > >>
> > > >> 1) Sejam x e y dois números primos entre si. Provar que podemos
obter
> > > >> qualquer número somando múltiplos de x e de y.
> > > >>
> > > >> Solução.
> > > >> Queremos provar que para todo o x,y,n dados, podemos achar f e g de
> >modo
> > > >que
> > > >>
> > > >> fx + gy = n ( a soma de múltiplos de x e de y dão o n )
> > > >>
> > > >> Isola-se o f, ou o g... no caso isolei o f:
> > > >>
> > > >> f = (n - gy)/x
> > > >>
> > > >> Agora nos basta encontrar g de modo que x | n - gy. Para quem sabe
um
> > > >> pouquinho de Teoria dos Números, eu acho que se variarmos o y num
> >s.c.r.
> > > >> então o n - gy será um s.c.r. módulo x, e estaria provado. Mas
vamos
> >por
> > > >> partes:
> > > >>
> > > >> Suponhamos que
> > > >>
> > > >> n - g1y =/= n - g2y (mod x) '=/= incongruente
> > > >> g1y =/= g2y (mod x) ==> afirmação similar a x não divide y(g1-g2)
> > > >>
> > > >> Como mdc(x,y)=1 então
> > > >>
> > > >> g1 =/= g2 (mod x)
> > > >>
> > > >> Vale tambem que se g1 =/= g2 (mod x) então n - g1y =/= n - g2y (mod
> >x).
> > > >> Agora escolhemos x números incongruentes módulo x (g1,...,gx), ou
> >seja,
> > > >que
> > > >> nunca deixem o mesmo resto na divisão por x. E necessariamente:
> > > >>
> > > >> n - giy =/= n - gjy (mod x) para todo o i e j
> > > >>
> > > >> Ou seja, nesses x números (n-g1y,...,n-gxy), todos são
incongruentes
> > > >módulo
> > > >> x, e como existem apenas x restos possíveis na divisão por x,
> > > >> necessariamente algum deles deixará resto zero na divisão por x, e
> > > >portanto
> > > >> haverá um g, tal que:
> > > >>
> > > >> f = (n - gy)/x será inteiro, e está provado o enunciado.
> > > >>
> > > >> 2) Sejam x e y dois números primos entre si. Prove que existe um N,
> >de
> > > >modo
> > > >> que para todo o n > N, podemos escolher múltiplos positivos de x e
de
> >y
> > > >que
> > > >> somados dão n. Nessas condições teremos que ter
> > > >>
> > > >> Solução.
> > > >> O problema pede para que mostremos que existem f e g positivos de
> >modo
> > > >que,
> > > >> para n > N
> > > >>
> > > >> fx + gy = n (lembrando que é todo mundo inteiro nesse e-mail)
> > > >>
> > > >> A minha idéia é a seguinte, claramente xy - yx = 0, e portanto para
> >todo
> > > o
> > > >a
> > > >> vale axy - ayx = 0, daí:
> > > >>
> > > >> fx + gy + axy - ayx = n
> > > >> (f + ay)x + (g - ax)y = n, para qualquer a que escolhermos
> > > >>
> > > >> Quero mostrar que existirá um a, a partir de um dado n, para que f
+
> >ay
> >e
> > > >g
> > > >> - ax sejam ambos positivos.
> > > >>
> > > >> Conseguimos escolher a de modo que (f + ay)x - (g - ax)y = fx - gy
+
> >2ayx
> > > >> esteja entre -yx e yx, basta mostrar que nesse intervalo teremos
f+ay
> >e
> > > >g-ax
> > > >> sempre positivos.
> > > >>
> > > >> Tanto f+ay quanto g-ax podem ficar entre [ n-xy ; n+xy ], ou seja
> >basta
> > > >que
> > > >> n-xy>0 e portanto que n > xy. Logo para N = xy vale o enunciado.
> > > >>
> > > >>
> > > >> Obrigado para quem leu! E tem algum erro?
> > > >> Valeu...
> > > >>
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