Retas

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

Olha esse problema do Torneio das Cidades

Problema.
n retas são traçadas no plano de tal forma que cada uma intersecte 
exatamente 1999 outras. Determine n (dê todas as respostas possíveis).

Solução.
Eu pensei algo assim.
Podemos ter grupos A1,A2,A3,...,Ak de retas tais que dentro de cada grupo Ai 
duas retas r,s E Ai são paralelas r||s. E duas retas de grupos diferentes, r 
E Ai, s E Aj são concorrentes r-||-s. Queremos que o total de retas seja n: 
#(A1 U A2 U ... U Ak) = n. E para cada reta r E Ai, seja tal que tenha 1999 
concorrentes que são n - #Ai, pois todas as retas em Ai são paralelas a ela. 
Agora como queremos que todas as n retas tenham 1999 concorrentes, n - #A1 = 
... = n - #Ak, ou seja, todos os grupos A1,A2,...,Ak tem o mesmo número de 
retas. Portanto basta ver todos os divisores de 1999, que são 1 e 1999, daí 
k=1+1=2 e k=1999+1=2000. Logo as respostas são: 2000 retas todas 
concorrentes entre si; ou, 2 conjuntos de 1999 retas cada um. n=2000 ou 
3998.

Há um outro problema só que em nível mais difícil.
Problema.
n planos são traçados no espaço de tal forma que cada uma intersecte 
exatamente 1999 outros. Determine n (dê todas as respostas possíveis)

Solução.
Acho que o problema é semelhante ao de cima e dá as mesmas respostas, 2000 e 
3998. Só não sei como chamar os planos que não se tocam: são planos 
paralelos?

Era isso...
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