Re: Tres Exercicios (Prob. 3)

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi, Elon, Alexandre.

	Se eu lembro direito o problema pedia uma solução analítica, então o
que eles queriam era a solução do Alexandre.

	Mas há uma bela solução geométrica... baseada nos seguintes fatos que
podem ser provados de maneira simples (tracem as figuras!):

	i) Num triângulo PAB, o pé da bissetriz do ângulo APB, digamos, M
satisfaz a seguinte propriedade:

	MA/MB = PA/PB

	ii) Num triângulo PAB, o pé da bissetriz EXTERNA do ângulo APB,
digamos, N, também satisfaz

	NA/NB = PA/PB (só que N está FORA do segmento AB)


	(Se quiser parar para pensar no problema, este é um bom momento. Senão,
siga com a leitura.)


	iii) As bissetrizaes interna e externa do ângulo APB são
perpendiculares.

	--//--

	Agora, qual é o l.g. dos pontos P tais que PA/PB = k>0? Bom, determine
M e N na reta AB tais que MA/MB = NA/NB = k, M dentro do segmento AB e N
fora do segmento AB. Não é difícil ver que nenhum outro ponto em AB tem
essa propriedade (do tipo XA/XB = k para esse k). Faça uma figura de
análise, pondo nela um P genérico no plano satisfazendo PA/PB = k.

	Como não há outros pontos M, N em AB satisfazendo esta propriedade,
concluímos que PM e PN sao de fato as bissetrizes interna e externa de
APB, e entao MPN = 90 graus. Mas M e N sao fixos!

	Então o lugar geométrico de P é um arco capaz de 90 graus sobre MN,
isto é, o círculo de diametro MN (o mesmo que o Alexandre tinha achado).
Vale observar que o raciocínio falha se k=1, pois então o ponto N não
existe (por assim dizer, N vai para o infinito). Mas neste caso, o lugar
geométrico dos pontos que satisfazem PA/PB=1 é a mediatriz de AB.

	Abraço,
		Ralph

alexv@esquadro.com.br wrote:
> 
> Elon,
> Para o Problema 3, a idéia é a seguinte:
> 
> Figura de Análise:
> Considere como eixo Ox a reta suporte do segmento AB e como eixo Oy a
> mediatriz deste segmento e chamando-se o comprimento de AB de 2a, temos:
> A(-a,0); B(a,0) e  P(x,y), assim:
> 
> (AP)^2= (x+a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2.x.a + a^2
> (BP)^2= (x-a)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 2.x.a + a^2
> 
> do enunciado: AP/BP = k, => (AP)^2 = k^2.(BP)^2
> =>  x^2 + y^2 + 2.x.a + a^2 = k^2.(x^2 + y^2 - 2.x.a + a^2)
> => (k^2 - 1).x^2 + (k^2 - 1).y^2 -2.a.(k^2 + 1).x + (k^2 - 1).a^2 = 0
> como k>0, há dois casos a verificar:
> 1) k=1 =>  -4.a.x=0 => x=0  => LG é o eixo Oy (mediatriz de AB)
> 
> 2) k <> 1 (k diferente de 1)
> => k^2 - 1 <> 0
> => x^2 + y^2 -2.a.[(k^2+1)/(k^2-1)].x + a^2 = 0
> => (x-a.[(k^2+1)/(k^2-1)])^2 + y^2 = (4.k^2.a^2)/(k^2 -1)^2
> => LG é uma circunferência de centro em Ox .
> 
> []'s
> Alexandre Vellasquez