Re: Poliedros

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 4 Feb 2000, Augusto Morgado wrote:

> Vi num livro um exerc�cio sobre um poliedro convexo formado por tr�s
> faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas
> faces hexagonais. Existe um tal poliedro?
> Morgado.

Bela pergunta. Notem que vale a f�rmula de Euler. 
Mesmo assim o poliedro n�o existe.

De fato, duas faces se encontram em no m�ximo uma aresta.
Como o total de faces � 7, cada face hexagonal deve ser adjacente a todas
as 6 outras. Em particular, as duas faces hexagonais s�o adjacentes
por uma aresta AB, onde um hex�gono � ABCDEF e o outro ABC'D'E'F'.
As outras 5 faces devem ser adjacentes aos dois hax�gonos:
mas um tri�ngulo s� pode ser adjacente aos dois hex�gonos
sendo formado por um v�rtice comum aos dois hex�gonos
e dois v�rtices vizinhos, um de cada hex�gono.
Assim s� podem existir 2 tri�ngulos, BCC' e AFF',
contradizendo a hip�tese de que existem tr�s faces triangulares.

[]s, N.