Re: Geometria

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Divaldo Portilho Fernandes Junior wrote:
> 
>   *** Dado um triangulo ABC, retangulo em A. É dado um segmento de reta que liga o vertice A a um ponto D da hipotenuza, o comprimento desse segmento é 9. São dadas duas circunferencias, de mesmo raio, inscritas nos triangulos ABD e ACD. Qual a area do triangulo ABC?
> 

	Uau. Essa eh legal. Eh notavel que o triangulo ABC nao esta determinado
com o enunciado, mas, mesmo assim, a area de qualquer triangulo que
satisfaca a condicao acima eh sempre a mesma, 81. Infelizmente a minha
solucao eh muito algebrica e feia, deve haver uma mais bonita... O
esboco da minha vai aqui:

	Sejam BD=x, CD=y e AD=m.

i) Calcule x e y em funcao de a,b,c,m:
	Para um triangulo qualquer, S = 1/2 (bc sinA) = pr; isto eh
	r = (bc sinA) / (a+b+c)
	Aplique isto em ABD (angulo B) e ACD (angulo C) e use que os raios sao
iguais para obter
	x/(b+x+m) = y/(c+y+m)
	e como x+y=a temos x e y:
	x = a (b+m)/(b+c+2m) e y = a (c+m)/(b+c+2m)

ii) Use uma relacao metrica qualquer que relaciona comprimento de
cevianas aos lados...
	Por exemplo, voce pode usar a Lei de Stewart:
	c^2/ay - m^2/xy + b^2/ax = 1

	Jogue os valores de x e y encontrados acima para achar
	2(b+m)(c+m)(bc-2m^2)=0	
	e entao bc/2=m^2 eh a area do triangulo

	Se voce nao gosta daquela lei, use a lei dos cossenos em ABD:
	m^2=b^2+x^2-2bx(b/a)
	Jogue o valor de x aqui, use a^2=b^2+c^2 e faca um monte de contas para
chegar aa mesmissima coisa.

	Notavel. :)

	Vamos ver se alguem tem uma solucao mais bonitinha... :)

	Abraco,
		Ralph