Re: Limite

[alexv@xxxxxxxxxxxxxxx]

>Gostaria que me ajudassem nessa: 
>
>Um aluno me pediu para que eu calculasse o seguinte limite:
>
>Lim    (x  - tg x)/(senx - x) .
>x-->0
>
>Na hora resolvi usando a regra de L'Hospital e encontrei 2 que � a 
resposta. 
>Em casa fui pensar em como  faria a quest�o sem usar a regra de 
L'Hospital.  
>Sem sucesso resolvi pedir ajuda e ningu�m conseguiu resolver sem usar a 
regra de L'Hospital. Se algu�m conseguir algum artif�cio alg�brico me 
avise!
>
>Marcos Paulo

Oi Marcos,
Eu acho que se voc� ficar manipulando por rela��es trigonom�tricas n�o vai 
adiantar muita coisa. Tente um desenvolvimento do numerador e do 
denominador por series (de Taylor, se n�o estou errando no nome) e assim 
teremos que:

1. sen(x) = x -(x^3/3!) + (x^5/5!)...
2. tg(x) = x + (x^3/3)...

Assim, vendo que x-tg(x) = -[tg(x)-x] e ainda que sen(x)-x = -[x-sen(x)] e 
fazendo o limite  vem que:

lim  [( tg(x)-x )/(x-sen(x))] tende para lim (x^3/3)/(x^3/6) = 2.
x->0                                     x->0

Acho que a brincadeira � essa...
ALLgu�m concorda? 

Obs.: Novamente, se n�o errei nessa s�rie vc tem que:
      f(x)=Somatorio(k=0 at� inf.)[ da [deriv. k-�sima de f(0)].x^k/k!] ]

[]'s
Alexandre Vellasquez