Re: Completando a ultima mensagem

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caro Marcio,
Saudacoes !

O seu e-mail chegou um tanto ilegivel, mas, no que for possivel, vou 
responde-lo.Desde ja agradeco suas criticas. Alguem ja disse e, creio, com 
acerto, que "mais vale a critica que aperfeicoa que o elogio que entorpece ! 
"
O livro a que me referi, que para nao ferir suscetibilidades nao citei qual 
e, e de um autor de outro estado tratando exclusivamente deste assunto. O 
que me chamou a atencao sobre ele e que o autor nao apresenta a "forma do 
polinomio". Ele so diz que para uma progressao aritmetica de ordem N o 
polinomio de termo geral e do N-esimo grau e passa a resolver algumas 
questoes com este conceito.
Eu descobri, e ja faz alguns anos, a "forma do polinomio". Para uma PA4, por 
exemplo:

An=[ N-1/0 ]A1 + [ N-1/1 ]*(A2-A1) + [ N-1/2 ]*(A3 - 2*A2 + A1) + [ N-1/3 
]*(A4 - 3*A3 + 3*A2 - A1) + [ N-1/4 ]*(A5 - 4*A4 + 6*A3 - 4*A2 + A1)

Sn=[ N/1 ]A1 + [ N/2 ]*(A2-A1) + [ N/3 ]*(A3 - 2*A2 + A1) + [ N/4 ]*(A4 - 
3*A3 + 3*A2 - A1) + [ N/5 ]*(A5 - 4*A4 + 6*A3 - 4*A2 + A1)

Como voce ve, o autor nao evidencia os "numeros binomiais" e os 
"coeficientes" : A1, A2 - A1, A3 - 2*A2 + A1, A4 - 3*A3 + 3*A2 - A1, A5 - 
4*A4 + 6*A3 - 4*A2 + A1. Somente evidenciando isso e possivel generalizar 
para o caso de uma PAP com elegancia e concisao.

Se eu soubesse que existia um livro que trata-se deste assunto tal como eu 
apresentei, nao teria perdido tempo escrevendo um e-mail tao extenso sobre 
algo ja bem abordado. Alias, um assunto ja bem abordado e o limete da 
sequencia de fibonaci a que voce se referiu: existem muitos livros que 
mostram como este limite e uma funcao de "fi", o numero da divisao aurea. Se 
eu apresentasse a solucao aqui estaria tao somente plagiando uma das 
diversas solucoes que existem em diversos livros ...

Chamando os coeficientes acima, respectivamente, de D1, D2, D3, D4 e D5, as 
formulas podem ser expressas COMO um "polinomio de Taylor". Eu disse que, a 
partir dai, podemos nos inspirar nos conceitos de analise para abordar 
questoes sobre os numeros naturais ...

Antes de te mostrar um exemplo do que falei, te faco uma pergunta : Voce 
conhece uma formula explicita para o calculo de permutacoes circulares com 
elementos repetidos ? Se voce ja conhece, entao mais uma vez estava pensando 
que havia feito um desenvolvimento que nao estava em qualquer livro mas vejo 
que os livros que voce conhece sao melhores que os meus. Se voce nao 
conhece, eu posso te mostrar como e possivel fazer isso.

COM ESTE TRABALHO QUE DESENVOLVI voce pode resolver, facilmente, questoes 
como: dispondo-se de n1 bolas da cor c1, n2 bolas da cor C2, n3 bolas da cor 
c3, ... np bolas da cor cp, quantos "colares de carnaval" distintos e 
possivel fazer ? Notar que um colar pode sofrer todo tipo de translacao ou 
de rotacao e nao se pode se limitar sempre a formula trivial ( N-1 )!

Por outro lado, os seus livros ensinam como colocar numa unica equacao um 
numero, a soma de seus divisores e a quantidade deles, de forma a podermos 
falar sobre os numeros perfeitos ? Se ensinam, por favor, me fale, pois 
penso de descoberto uma forma de fazer isso ? Quer ver ?

Para te dar uma ideia de como e possivel corrigir as formulas de Euler e, 
num certo sentido, superar o triangulo de pascal, considere a formulas 
recorrentes :

An,o = 1  (  expressao 1 )
An,p = somatorio de An,p-1 ( Expressao 2 )

entao:

A0,0 = 1
A1,0 = 1 A0,1 = 1
A2,0 = 1 A1,1 = 2  A0,2 = 1
A3,0 = 1 A2,1 = 3  A1,2 - 3 ...
...

Usando as expressoes recurssivas acima e as formulas da expressao 2 voce 
pode obter todo o triangulo de pascal sem lancar mao do conceito de 
fatorial. O que importa sao as expressoes: elas caracterizam uma folheacao !
As folheacoes ( estou chamando assim por falta de um conceito melhor ) sao 
aplicacoes do dominio complexo nos naturais. Considere a equacao diofantina:

X + Y = N
N= 0 => (x,y)=(0,0)
N=1 => (x,y) = (1,0),(0,1)
N=2 => (x,y) = (2,0),(1,1),(0,2)

Esta vendo surgir os pares que representam os "numeros binomiais" ?
Defina agora uma funcao conveniente sobre eles e voce podera obter todos o 
triangulo pascalino e muitas coisas mais...

Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1015,181099



>From: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-rj@saci.mat.puc-rio.br>
>Subject: Completando a ultima mensagem
>Date: Sun, 17 Oct 1999 10:35:55 -0300
>
>....
>Mas tenho quase certeza que o autor pertence a essa lista (E.Wagner??)
>...
>

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