Numeros Perfeitos

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

Oi turma,

em um livro de calculo, vi a afirmaccao de que nao se sabe da existencia ou nao de numeros perfeitos (que e' um numero igual a soma dos seus divisores) impares. Dos pares, ha um "teorema" bastante conhecido e que diz:
Se 2^n - 1 e' um numero primo entao 2^(n-1) * (2^n - 1) e' um numero perfeito, e se um numero par e' perfeito entao ele e' da forma acima (sendo a afirmaccao de Euclides e a reciproca de Euler).
Fiquei um tanto perplexo em ler essa frase, "nao se sabe se existe um numero perfeito impar". Vi num outro livro uma afirmaccao de Euler sobre as series (1/n)^s com n variando de 1 ate infinito e "modifiquei" a formula do Euler para os meus proprios fins. Vejamos:

Chamarei a funccao d(n) que retorna a soma dos divisores positivos de n (incluindo n). E enunciarei da seguinte forma: se n pode ser escrito na forma fatorada como:

n = (p1)^e1 * (p2)^e2 * ... * (pn)^en

A funccao d(n) sera definida assim:

d(n) = ( 1 + p1 + ... + (p1)^e1 )( 1 + p2 + ... + (p2)^e2 )...( 1 + pn + ... + (pn)^en )

Se nao ficou claro por que, vou dar um exemplo. Para n = 24 = 8 * 3, fica:

d(n) = ( 1 + 2 + 4 + 8 )( 1 + 3 )

Multiplicando fator a fator, e' facil de ver que teremos a soma dos divisores positivos de n (incluindo). 
E' facil de ver que para um numero ser perfeito devemos ter d(n) = 2n. Bom, a que ponto isso nos leva. Supondo que exista um numero n impar perfeito, e fatoremos ele novamente:

n = (p1)^e1 * (p2)^e2 * ... * (pn)^en

Mas desta vez nenhum dos p's e'  igual a 2. A funccao d(n) retorna:

d(n) = ( 1 + p1 + ... + (p1)^e1 )...( 1 + pn + ... + (pn)^en )

Note o seguinte: se d(n) = 2n entao o lado direito da igualdade acima deve ser par, mas nao deve ser multiplo de 4, pois se nao teriamos n par. Ou seja,  apenas um dos fatores da forma

( 1 + pi + ... + (pi)^ei ) 

pode ser par, e como pi e' impar, teremos que ter (ei) necessariamente impar. Como ja temos o nosso produto do (pi) par todos os outros fatores de d(n) devem ser impares, e logo todos os outros (ej) para j diferente de i devem ser pares! Concluindo: se n e' um numero perfeito impar, ele deve ser da forma:

n = p^k * x^2

Que e' o produto de um quadrado perfeito impar pela potencia k de um primo p. Um dos possiveis candidatos a numeros perfeitos seriam:

n = 3 * 3^2 = 18 [*]
n = 5 * 3^2 = 45

E dai restringiria a minha busca por numero perfeitos impares somente aos da forma enunciada.
Espero comentarios :)


Valeu.
duda

[*] Vale resaltar que ( 1 + 3 ) = 4, dai nao precisariamos verificar se esse n e' perfeito. Ha restriccoes, varias, mas  nao sei esquematiza-las. Acho que se o p e' primo e congruente a 1 modulo 4, ele nao pode aparecer, ou coisa assim, pois teriamos 1+p multiplo de 4, absurdo ...