Questão da forma f(x)=f(g(x)) PARTE 1

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Se quisermos *todas* as funções... A questão fica um pouco estranha,
aposto que você copiou errado, mas dá para fazer... A resposta é:

"Defina QUALQUER função f:[1,+INF)->R e escolha também f(-1) de qualquer
maneira; a partir daí, há uma única maneira de se extender f para que
satisfaça a propriedade indicada."

MANEIRA I: MAIS GERAL, MAS MAIS DIFÍCIL DE ENTENDER

De fato, a sua condição é equivalente a:

                  1-(1-x)     x
f(x)=f(1-(1-x))=f(-------)=f(---)
                    1-x      1-x                              
(para qualquer x <> 0 ou 1)

Em outras palavras, se g(x)=x/(1-x), queremos que f(g(x))=f(x). Isto é
tudo o que você pediu... Note que g é inversível, isto é:

y=x/(1-x) <==> x=y/(1+y)

Então definimos h(x)=x/(1+x) como a função inversa de g(x). Você pode
verificar que g(h(x))=x para x<>-1 e h(g(x))=x para x<>1.

Dado um certo x0, vamos definir a "ÓRBITA de x0 seguindo g" como o
conjunto {x0,g(x0),g(g(x0)),...} U {h(x0),h(h(x0)),...}. Note que o
valor de f tem de ser o mesmo para todos os números dentro da órbita de
x0. De fato, isto segue direto da sua condição:

f(x)=f(g(x))=f(g(g(x)))=...=f(g(g(g(...g(g(x))...)))

usando x=x0 ou x=h(h(...h(x0)...))

Eu afirmo que isto é tudo que precisamos fazer: dividir o conjunto dos
números reais em órbitas e dar um valor de f para cada órbita. Esta
condição é necessária e suficiente para que f(g(x))=g(x).

Eu coloquei dessa maneira geral, mas no caso em questão a coisa é um
pouco mais simples. Aplicando g a intervalos:

...
g leva (1/4,1/3) em (1/3,1/2)
g leva (1/3,1/2) em (1/2,1)
g leva (1/2,1) em (1,+INF)
g leva (1,+INF) em (-INF,-1)
g leva (-INF,-1) em (-1,-1/2)
g leva (-1,-1/2) em (-1/2,-1/3)
g leva (-1/2,-1/3) em (-1/3,-1/4)
...

Nos bordos, aplicações sucessivas de g levam:

...1/4 em 1/3 em 1/2 em 1 (esta é a órbita de 1)
-1 em -1/2 em -1/3 em -1/4 em... (esta é a órbita de -1)

Portanto, para definir f basta que definamo-la nos pontos -1, 1 e em um
dos intervalos abertos acima (digamos, (1,+INF)). A partir daí, f fica
definida a partir da propriedade f(g(x))=f(x), isto é:

f(-1)=f(-1/2)=...=f(-1/n)=...
f(1)=f(1/2)=...=f(1/n)=...
Para qualquer outro x0, existe um elemento da órbita de x0, digamos, x1,
que pertence a (1,+INF); devemos ter f(x0)=f(x1).

(Se você quiser a fórmula exata que relaciona x0 e x1, é mais ou menos
assim:
i) Se 1<x0, então x1=x0;
ii) Se 0<x0<1, escreva 1/(n+1) < x0 < 1/n; então x1=g^n(x0) (este g^n é
g composta n vezes);
iii) Se x0<-1, então x1=h(x0);
iv) Se -1<x0<1, escreva -1/(n-1) < x0 < -1/n; então x1=h^n(x0)

mas sinceramente, não vale a pena -- a idéia é mais clara sem essas
fórmulas)